6.4.1 定积分的换元积分法
当我们看到类似于
这样的式子的时候会很自然地想到将x-1看作一个整体替代原变量，从而简化运算.而换元积分法正是利用了这种替换的的思想.
定理6.4.1（换元积分法） 若函数f（x）在区间[a，b]上连续，函数x＝φ（t）满足：
（1）φ（α）＝a，φ（β）＝b，且当t∈[α，β]（或t∈[β，α]）时，φ（t）∈[a，b]；
（2）φ（t）在[α，β]（或[β，α]）上是单值且有连续的导数φ′（t），那么
证明 由f（x）在[a，b]连续，f[φ（t）]φ′（t）在[α，β]（或[β，α]）连续可知，公式两端的定积分都有意义.根据连续函数都存在原函数定理，设f（x）在[a，b]上的一个原函数是F（x）.由牛顿—莱布尼茨公式可知
同时
所以F[φ（t）]是F[φ（t）]φ′（t）在[α，β]（或[β，α]）上的一个原函数，由牛顿—莱布尼茨公式可知）
左端＝右端，公式成立.证完应用换元法要注意两点.
（1）由于定积分的结果只与被积函数和积分上下限有关，因此通过x＝φ（t）把原来的变量x代换成新变量t时，积分限也要换成新变量t的积分限；
（2）求出f[φ（t）]φ′（t）的一个原函数F（φ（t））后，不必像计算不定积分那样最后还要把F（φ（t））变换回原来变量x的函数，而只要把新变量t的上/下限分别代入F（φ（t））中然后相减就可以了.
例6.4.1 计算
.
解 设x＝sint，dx＝costdt.当x＝0时，t＝0；当x＝1时
.因此
例6.4.2 若f（x）是定义在[-a，a]（a＞0）上的奇函数，则
.
证明 由定积分的区间可加性
进行换元，设x＝-t，则dx＝-dt，且x＝-a时，t＝a，x＝0时，t＝0.又因为f（x）是奇函数，所以
所以(https://www.daowen.com)
本题中，若f（x）是定义在[-a，a]（a＞0）上的偶函数，则
，读者可以尝试证明.
例6.4.3 设f（x）在（-∞，+∞）内连续，且
证明当f（x）是偶函数时，F（x）是偶函数.
证明 F（x）的表达式是一个积分上限函数，为了证明F（x）是偶函数，即证明
令t＝-u，当t＝0时，u＝0；当t＝-x时，u＝x.又因为f（-x）＝f（x），所以
即F（x）是偶函数.
有时候为了书写简便起见，可以不明显地写出新变量t，或者成为配元，那么定积分的上、下限就不要变更，如例6.4.4.
例6.4.4 计算
.
解 由于
.在积分区间
，所以
换元法也可以反过来使用，即把换元公式中左右两边对调位置，用式子t＝φ（x）来引入新变量t，t的积分区间由α＝φ（a），β＝φ（b）决定.
例6.4.5 计算
.
解 设t＝cosx，则dt＝-sinxdx，且当x＝0时，t＝1；当
时，t＝0.于是
例6.4.6 计算
.
解 设
，则
，dx＝tdt，且当x＝0时，t＝1；x＝4时，t＝3.于是
