6.4.2　定积分的分部积分法

6.4.2　定积分的分部积分法

定理6.4.2（分部积分法）　若函数u（x），v（x）在[a，b]上有连续导数，则

证明　由乘积求导公式

(uv)′＝u′v+uv′

在这个等式两端分别求区间[a，b]上的定积分，应用牛顿—莱布尼茨公式，得

所以，整理即得

例6.4.7　计算.

解　设u＝lnx，dv＝dx，则

代入分部积分公式，得

(https://www.daowen.com)

例6.4.8　计算arctanxdx.

解　

在有些定积分计算中，换元法和分部积分法经常结合起来用，如下面两道例题.

例6.4.9　计算.

解　使用换元法，可先令t＝x+1，则原式.

再次使用换元法，令，则原式.

然后使用分部积分法得

例6.4.10　计算.

解　

正因为定积分和不定积分的紧密联系，所以不定积分的换元法和分部积分法对定积分同样适用.本节对定积分换元法和分部积分法计算的应用进行了实例讲解，如何有效而便捷地应用该方法解题需要读者在解题的实践中逐渐总结和掌握.