6.5.1 无穷区间上的广义积分
1.无穷区间上的广义积分的概念和计算
引例6.5.1 求由曲线y＝e-x，x轴以及y轴右侧所围成的“开口曲边梯形”的面积.如图6.8所示.
解 由于x→+∞，所以积分区间应当是[0，+∞），这是一个无限区间，如果把上限暂时固定，即任取一个大于下限0的正数b作为上限，如图6.9所示，那么在区间[0，b]上以曲线y＝e-x为曲边的图形的面积为
图6.8 开口曲边梯形
图6.9 曲边梯形
可以看出，随着b的增大，曲边梯形的面积就越接近于所要求的“开口曲边梯形”的面积，因此，令b→+∞，得
定义6.5.1 设函数f（x）在区间[a，+∞）上连续，且对任意的b＞a，f（x）在[a，b]上可积，当极限
存在时，称这极限值I为f（x）在[a，+∞）上的广义积分.记作
，即
如果上述极限不存在，函数f（x）在无穷区间[a，+∞）上的广义积分
就没有意义，这时称广义积分
发散.
类似地，定义f（x）在无穷区间（-∞，b]上的广义积分为
，有
若上式等号右端的极限存在，则称为收敛；否则称为发散.
函数f（x）在无穷区间（-∞，+∞）上的广义积分定义为
式中，c为任意实数.当上式右端两个积分都收敛时，则称为收敛；否则称为发散.
无穷区间上的广义积分也简称为无穷积分.
注：广义积分的收敛性及所收敛的值与常数c的取值无关，在选取时应便于计算.
推论：由于F（c）是一个定值，那么如果右端两个积分收敛的话，对应可以推出
的极限存在.
例6.5.1 计算无穷积分
.
解 由定义6.5.1可知：
备注：（1）这个广义积分值的几何意义是：当a→-∞，b→+∞时，如图6.10所示，它是位于曲线
的下方、x轴上方图形的面积的极限值.
图6.10 广义积分几何意义
（2）为了书写简便，实际运算过程中常常省去极限的记号，而形式地把∞当成一个“数”，直接利用牛顿—莱布尼茨公式的方法进行计算，如下：
式中，F（x）为f（x）的原函数，记号F（±∞）应理解为极限运算：(https://www.daowen.com)
上述例6.5.1的计算过程可以写为
或写为
式中
.
例6.5.2 计算无穷积分
（p是常数，且p＞0）.
解 
注 上式中极限
是未定式，其计算可用洛必达法则解决.
例6.5.3 讨论无穷积分
的收敛性.
解 （1）当p＝1时，
（2）当p≠1时，
由上讨论可知，广义积分
，当p＞1时收敛于
；而当p≤1时发散.这个结论也将经常被用到.
2.无穷区间上的广义积分的性质
作为定积分的推广，以下定积分的有关性质在广义积分中仍然适用.
性质1 若函数f（x）在[a，+∞）上可积，k为常数，则kf（x）在[a，+∞）上也可积，且
即常数因子可从积分号里提出（注意与不定积分的不同）.
性质2 若函数f（x），g（x）都在[a，+∞）上可积，则f（x）±g（x）在[a，+∞）上也可积，且有
性质3 对无穷限积分，换元积分法和分部积分法也成立.
例6.5.4 讨论
的敛散性.
解 
注：此处的ln[ln（+∞）]应理解为极限表达式.
性质4 若f（x），g（x）为定义在上[a，+∞）的非负函数，且在任何有限区间[a，u]上均可积，并满足
f(x)≤g(x) x∈[a,+∞)
则当
收敛时
也收敛（或当
发散时
也发散）.
例6.5.5 证明广义积分
发散.
证明 由例6.5.4的讨论可知
发散，而当x≥2时，arctanx＞1.
所以在积分区间上
，应用性质4，推出
发散.
