6.5.2 无界函数的广义积分
定义6.5.2 设函数f（x）在区间（a，b]上连续，且
（即x＝a为函数f（x）的无穷间断点），而对任意小的ε＞0，f（x）在[a+ε，b]上可积，极限
称为无界函数f（x）在（a，b]上的广义积分，仍然记为
，积分为
若上式右端极限存在，则称此无界函数的广义积分收敛；否则，称为发散.
类似地，若函数f（x）在区间[a，b）上连续，且
（即x＝b为函数f（x）的无穷间断点），而对任意小的ε＞0，f（x）在[a，b-ε]上可积，定义无界函数f（x）在[a，b）上的广义积分为
若上式右端极限存在，则称为收敛；否则称为发散.
若对任意小的ε＞0，f（x）在[a，c-ε]和[c+ε，b]上可积，而
，则定义f（x）在区间[a，b]上的广义积分为
当上式右端两个极限都存在时，则称广义积分
收敛；否则，称为发散.
此外，如果x＝a，x＝b均为f（x）的无穷间断点，则f（x）在[a，b]上的无界函数的积分定义为
式中，c为a与b之间的任意实数，当右端的两个极限都存在时，则称之收敛；否则称为发散.
相应地，可以得到：若f（x），g（x）为定义在（a，b]上的函数，无穷间断点均为a，且在任何有限区间[u，b]⊂（a，b]上可积，并满足
f(x)≤g(x) x∈(a,b]
则当
收敛时
也收敛（或当
发散时
也发散）.
备注：（1）定义中涉及的无穷间断点称为被积函数的瑕点，故无界函数的广义积分又常称为瑕积分.
（2）无界函数的广义积分与一般定积分（亦称常义积分）的含义不同，但形式一样，容易被忽视，因此，在计算定积分时，应该首先考察是常义积分还是广义积分，若是无界函数的广义积分，则要按广义积分的计算方法处理.
例6.5.6 讨论无界函数积分
的收敛性.
解 在x＝a点的左邻域，被积函数的极限
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因此此积分属于无界函数的广义积分，按照定义6.5.2中的计算方法，
注：这个广义积分值的几何意义为位于曲线
之下、x轴之上、直线x＝0和x＝a之间的图形面积，如图6.11所示.
例6.5.7 讨论
的收敛性.
解 在[0，2]内部有瑕点x＝1，利用定积分区间可加性，让瑕点出现在小区间的端点处，所以有
图6.11 例6.5.6的几何意义图示
所以
发散.
注 由于它不是常义积分，不能按常义积分处理.常义积分与瑕积分外表上没什么区别，如
就是普通定积分，而
就成了广义积分，所以计算积分
时要特别小心，一定要首先检查一下f（x）在[a，b]上有无瑕点，有瑕点时，要按广义积分来对待，不然就可能出错.如果本例按常义积分的方法计算，则
出错的原因是未发现x＝1是瑕点.
例6.5.8 讨论广义积分
的收敛性.
解 （1）当q＝1时，
（2）当q≠1时，
所以，当q＜1时，该广义积分收敛，其值为
当q≥1时，该积分发散.
