6.6.1 定积分的微元法
为了说明微元法，首先回顾一下6.1节中讨论过的计算曲边梯形的面积问题.
曲线y＝f（x）（f（x）≥0）、x轴及两条直线x＝a、x＝b所围成的曲边梯形的面积A等于函数f（x）在区间[a，b]上的定积分，即
其计算步骤如下所述.
（1）分割.在区间[a，b]内任意插入n-1个分点把[a，b]分成n个小区间，各小区间[xi-1，xi]的长度记为Δxi，在各分点处作y轴的平行线，就把曲边梯形分成n个小曲边梯形.
（2）近似（代替）.设第i个小曲边梯形的面积为ΔAi，则
ΔAi≈f(ξi)Δxi (i＝1,2,…,n;xi-1≤ξi≤xi)
（3）求和.整个大曲边梯形的面积近似等于各小矩形的面积之和，即
（4）取极限.记λ＝max{Δx1，Δx2，…，Δxn}，曲边梯形的面积为
在上述问题中，所求量（即面积A）与区间[a，b]有关，如果把区间[a，b]分成许多部分区间，则所求量相应地分成许多部分量（即ΔAi），所求量等于所有部分之和，即
，这一性质称为所求量对于区间[a，b]具有可加性.需要注意的是，在第（2）步中，之所以可以用f（ξi）Δxi近似地代替ΔAi，是因为它们只相差一个比Δxi高阶的无穷小，这样取和式
的极限即是面积A的精确值.
在以上四个步骤中，关键是第（2）步，这一步确定了ΔAi的近似值f（ξi）Δxi，之后就可以据此得到所求量（即面积A）的表达式为
实际应用中，常常省略ΔAi的下标i，用ΔA表示任一小区间[x，x+dx]上的窄曲边梯形的面积.
如图6.12所示，取小区间[x，x+dx]的左端点x为ξ，以x处的函数值f（x）为高，区间长度dx为底的矩形面积f（x）dx为ΔA的近似值，如图6.12的阴影部分所示，即(https://www.daowen.com)
ΔA≈f(x)dx
上式右端f（x）dx称为面积微元，记为dA＝f（x）dx，这样就有
一般地，在实际应用中，如果所求量U符合下列条件：
（1）量U是与一个变量x的变化区间[a，b]有关的量.
（2）量U对于区间[a，b]具有“可加性”，也就是说，如果把区间[a，b]分成若干个部分区间[xi-1，xi]（i＝1，2，…，n），那么值U就等于对应于各部分区间的部分量ΔUi（i＝1，2，…，n）的总和，即
图6.12 面积微元图示
（3）部分量ΔU的近似值可表示为ΔUi≈f（ξi）Δxi.
那么，就可以考虑用定积分来表达量U.通常求出这个量的积分表达式的步骤是：
（1）根据具体情况，选取一个与所求量U相关联的自变量x，并确定x的变化区间[a，b]；
（2）任取x∈[a，b]，设想把[a，b]分成若干个小区间，并把其中的一个代表性小区间记作[x，x+dx]，求出相对应于这个小区间的部分量ΔU的形如f（x）dx的近似表达式，即dU＝f（x）dx，这里的近似指的是ΔU-f（x）Δx＝o（Δx），即在作近似时所忽略的是Δx的高阶无穷小，dU＝f（x）dx称为量U的微元.
（3）将U在[x，x+dx]上的微元dU＝f（x）dx作为被积表达式，在x的变化区间[a，b]上进行积分，就得到所求量U的定积分表达式为
这个方法通常称为微元法，下面将应用微元法来讨论几何、物理等应用中的一些问题.
