6.6.2　定积分在几何上的应用

1.定积分在求平面图形的面积上的应用

1）直角坐标情形

（1）一条曲线与坐标轴所围成的面积，如图6.13所示.设f（x）在[a，b]上连续，当f（x）≥0时，由定义得到曲线y＝f（x）与直线x＝a、x＝b、x轴围成的平面图形的面积为：A＝；当f（x）＜0时，由于面积总是非负的，因此，两者合并即得面积为

（2）两曲线围成的面积，如图6.14所示.如果平面图形是由连续曲线y＝f（x）、y＝g（x）及直线x＝a、x＝b围成，则面积

例6.6.1　计算由两条抛物线：y2＝x、y＝x2所围成的图形的面积.

解法一　（以x为积分变量）

（1）首先根据题意作图，这两条抛物线所围成的图形，如图6.15所示.

图6.13　一条曲线与坐标轴所围成的面积

图6.14　两曲线围成的面积

图6.15　例6.6.1解法一图示

（2）为了具体确定图形所在的范围，通过求解方程组求出这两条抛物线的交点.解

得到抛物线的两个交点O（0，0）和C（1，1）.

（3）选择积分变量为x，通过交点得到这两条抛物线所围成的图形在x＝0和x＝1之间，所以积分区间为[0，1].

（4）求面积微元，在区间[0，1]上任一小区间[x，x+dx]上的窄矩形面积微元的高为，宽为dx，从而面积微元的大小为

（5）作定积分求面积.以上式dA为被积表达式，以x为积分变量，以区间[0，1]为积分区间，得到面积为

解法二　（以y为积分变量）

（1）首先根据题意作图，这两条抛物线所围成的图形，如图6.16所示.

图6.16　例6.6.1解法二图示

（2）为了具体确定图形所在的范围，通过求解方程组求出这两条抛物线的交点.解

得到抛物线的两个交点O（0，0）和C（1，1）.

（3）选择积分变量为y，通过交点得到这两条抛物线所围成的图形在y＝0和y＝1之间，所以积分区间为[0，1].

（4）求面积微元.在区间[0，1]上任一小区间[y，y+dy]上的窄矩形面积微元的高为dy，宽为，从而面积微元的大小为

（5）作定积分求面积.以上式dA为被积表达式，以y为积分变量，以区间[0，1]为积分区间，得到面积为

本例中，从计算过程来看，积分变量选取x或选取y，其计算过程的繁简度基本一样，但在有些情况下，积分变量的选取对计算过程的难易有较大影响.在该种情况下，要注意积分变量选取的技巧.

例6.6.2　计算抛物线y2＝2x与直线y＝x-4所围成的图形的面积.

解　（1）依照题意作图，如图6.17所示.

（2）为了求出图形所在的范围，先求出题中所给抛物线和直线的交点，即解方程组

从而确定两图形的交点为C1（2，-2），C2（8，4）.

（3）选择积分变量为y，通过交点得到这两条抛物线所围成的图形在y＝-2和y＝4之间，所以积分区间为[-2，4].

（4）求面积微元.在区间[-2，4]上任一小区间[y，y+dy]上的窄矩形面积微元的高为dy，宽为，从而面积微元的大小为

图6.17　例6.6.2图示

（5）作定积分求面积.以上式dA为被积表达式，以y为积分变量，以区间[0，1]为积分区间，得到面积为

本题中，如果选取x作积分变量，将会增加解题的复杂度，读者可以思考一下为什么.

2）参数表示的情形

若曲边梯形的曲边y＝f（x）（f（x）≥0，x∈[a，b]）以参数方程的形式给出时，并且x＝φ（t）满足：φ（α）＝a，φ（β）＝b，φ（t）在[α，β]（或[β，α]）上单值且具有连续导数，y＝Ψ（t）连续，则由曲边梯形的面积公式及定积分的换元公式可知，曲边梯形的面积为

图6.18　例6.6.3图示

例6.6.3　求椭圆围成的平面图形的面积.

解　根据题意画出图形，如图6.18所示.

由于椭圆关于x轴、y轴都对称，因此只需要计算出椭圆在第一象限中的面积A1，就可根据

计算出椭圆的面积A.

椭圆的参数方程为

当x＝0时；当x＝a时，t＝0.利用定积分的换元法，将

代入①式，并将作为积分区间，则椭圆的面积为

这就是椭圆的面积公式，特别地，当a＝b时，就得到圆的面积公式πa2.

*3）极坐标情形

在计算平面图形的面积时，在有些情况下用极坐标来计算它们的面积会比较方便.

图6.19　曲边扇形

曲线由极坐标方程r＝r（θ）表示，设r（θ）在区间[α，β]上连续，且r（θ）≥0，则由曲线r＝r（θ）及射线θ＝α、θ＝β围成的平面图形，称为曲边扇形，如图6.19所示.下面来讨论计算曲边扇形面积的方法.

当极角θ在[α，β]上变动时，极径r（θ）是变化的，因此不能直接应用圆扇形面积计算公式来计算.而是用微元法来进行计算，取极角θ为积分变量，积分区间即θ的变化区间[α，β]，在其上任取一微小区间[θ，θ+dθ]，在小区间上的窄曲边扇形的面积可用半径为r＝r（θ）、中心角为dθ的圆扇形的面积近似代替，从而得到窄曲边扇形的面积即面积微元为

将作为被积表达式，在[α，β]上作定积分，便可得到所求曲边扇形的面积为

例6.6.4　计算心形线.

r＝a(1+cosθ)　(a＞0)

所围成的图形的面积.

解　心形线所围成的图形，如图6.20所示.根据其对称性，该图形的面积A等于极轴上方图形面积A1的两倍.

对于极轴上方的图形，积分变量θ的变化区间（积分区间）为[0，π]，在[0，π]上选取任一微小区间[θ，θ+dθ]，小区间对应的窄曲边扇形的面积即面积微元为

图6.20　例6.6.4图示

于是，心形线所围成的面积

例6.6.5　求由星形线x＝acos3t，y＝asin3t，0≤t≤2π所围图形的面积.

解　由对称性可知

2.定积分在求体积上的应用

1）旋转体的体积

一个平面图形绕着平面内一条直线旋转一周而成的立体，称为旋转体，这条直线称为旋转轴.我们常见的圆柱、圆锥、圆台、球体可以分别看成或是由矩形绕着它的一条边、直角三角形绕着它的直角边、直角梯形绕着它的直角腰、半圆绕着它的直径旋转一周而成的立体，所以它们都是旋转体.

（1）若旋转体是由[a，b]上的连续曲线f（x）、直线x＝a、x＝b及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得到，如图6.21所示，现在来计算它的体积.

以横坐标x为积分变量，它的变化区间[a，b]为积分区间，任取[a，b]上一微小区间[x，x+dx]上的窄曲边梯形绕x轴旋转一周得到的薄片的体积，可近似看成以为底半径、dx为高的扁圆柱体的体积，则体积微元为

dV＝π[f(x)]2dx

以dV＝π[f（x）]2dx为被积表达式，在区间[a，b]上作定积分，就可得到旋转体的体积为

图6.21　旋转体的体积

（2）若旋转体是由[c，d]上的连续曲线x＝φ（y）、直线y＝c、y＝d及y轴所围成的平面图形绕y轴旋转一周所得到，同理可得到旋转体的体积为

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例6.6.6　求由曲线y＝e-x和直线x＝1，x＝2和x轴围成的图形分别绕x轴、y轴旋转而成的旋转体的体积.

解　依题意画出图形，如图6.22所示.

图6.22　例6.6.6图示

（1）当曲线绕x旋转时，取x为积分变量，它的变化区间为[1，2]，在[1，2]上任取一微小区间[x，x+dx]的薄片的体积近似等于底半径为e-x、高为dx的扁圆柱体的体积，所以面积微元为

dVx＝πe-2xdx

以dV＝πe-2xdx为被积表达式，以[1，2]为积分区间作定积分，即可得到旋转体的体积为

（2）围成的图形绕着y轴旋转时，取y为积分变量，且当x＝1时，y＝e-1；x＝2时，y＝e-2.将函数表达式y＝e-x变换为x＝-lny.曲线绕y轴旋转一周形成的旋转体的体积由两部分组成，如图6.22所示，一部分是矩形CBDE绕y轴旋转一周形成的圆柱体，另一部分是由曲边三角形ABC绕y轴旋转一周形成的旋转体.这两部分的体积均可通过定积分计算而得.

圆柱体的体积为