矩阵的特征值与特征向量

五 、矩阵的特征值与特征向量

【主要内容】

1.矩阵的特征值与特征向量的定义

设A是n阶矩阵.如果数λ和n维非零向量x满足

Ax=λx，

则称λ是A的特征值，称x是A的对应λ的特征向量.

2.矩阵特征值的计算方法

设A是n阶矩阵，当它是抽象矩阵时，其特征值与特征向量可按定义寻找，即设法得到各种形如Aα=λα（α是n维非零向量）的表达式，就可得到A的特征值及对应的特征向量.当A是n阶数字矩阵时，可以通过解A的特征方程λE_n-A=0（称λE_n-A为A的特征多项式，称λE_n-A为A的特征矩阵）得到A的所有特征值，然后对各个特征值λ解齐次线性方程组（λE_n-A）x=0，它的每个非零解即为A的对应λ的所有特征向量.

3.矩阵特征值及特征向量的性质

设A是n阶矩阵，则

（1）A的不同特征值对应的特征向量线性无关.

（2）A的n个特征值之和为A的主对角线元素之和（称为A的迹，记为trA），A的n个特征值之积为A.

（3）当A可逆时，它的特征值都不为零，并且当A具有特征值λ₀及对应的特征向量ξ

时，A^-1具有特征值及对应的特征向量ξ，A∗具有特征值及对应的特征向量ξ.

（4）当A具有特征值λ₀及对应的特征向量ξ时，φ（A）（φ（λ）是关于λ的多项式，即φ（λ）=a₀+a₁λ+…+a_mλ^m，φ（A）=a₀E_n+a₁A+…+a_mA^m）具有特征值φ（λ₀）=a₀+a₁λ₀+…+a_mλ₀^m及对应的特征向量ξ.

【典型例题】

例6.5.1 （单项选择题）设λ₁，λ₂是n阶矩阵A的特征值，ξ₁，ξ₂是对应的特征向量，则（ ）.

A.λ₁=λ₂时，ξ₁与ξ₂线性相关

B.λ₁≠λ₂时，λ₃=λ₁+λ₂也是A的特征值，且对应的特征向量为ξ₁+ξ₂

C.λ₁≠λ₂时，ξ₁+ξ₂不是A的特征向量

D.λ₁=0时，ξ₁=0

精解 按特征值与特征向量的定义选择正确的选项.

当λ₁≠λ₂时，ξ₁+ξ₂必不是A的特征向量.下面用反证法证明这一结论.

设ξ₁+ξ₂是A的对应特征值μ的特征向量，则有

A（ξ₁+ξ₂）=μ（ξ₁+ξ₂），即Aξ₁+Aξ₂=μξ₁+μξ_2.将题设的Aξ₁=λ₁ξ₁，Aξ₂=λ₂ξ₂代入上式得

λ₁ξ₁+λ₂ξ₂=μξ₁+μξ₂，即（λ₁^-μ）ξ₁+（λ₂^-μ）ξ₂=0.于是由ξ₁，ξ₂是对应不同特征值的特征向量得

λ₁-μ=λ₂-μ=0，即λ₁=λ_2.这与λ₁≠λ₂矛盾.

因此本题选C.

例6.5.2 （单项选择题）设λ=2是n阶矩阵A的一个特征值，A=2，则矩阵对应的特征值为（ ）.

A.1 B.2 C.3 D.4

精解 对应λ=2，矩阵的特征值，矩阵（A²）∗

的特征值，所以，所求的特征值为1+1=2.

因此本题选B.

例6.5.3 已知二阶矩阵A及2维列向量α满足

A²α+2Aα-3α=0，

且α，Aα线性无关，求A的所有特征值与特征向量.

精解 由于A是2阶矩阵，所以其仅有两个特征值.下面根据定义寻找它的特征值与特征向量.

由题设A²α+2Aα-3α=0可得

（A-E₂）（Aα+3α）=0， 即 A（Aα+3α）=Aα+3α；

（A+3E₂）（A-E₂）α=0， 即 A（A-E₂）α=-3（Aα-α）.此外由题设α，Aα线性无关知，Aα+3α，（A-E₂）α都是非零向量，因此，A有特征值λ=1，-3，且A的对应λ=1的特征向量为Aα+3α.对应λ=-3的特征向量为Aα-α.

例6.5.4 设矩阵

，求它的特征值及特征向量.

精解 先计算特征方程λE₃-A=0的根得到A的特征值，然后逐一计算A的特征值λ对应的齐次线性方程组（λE₃-A）x=0的非零解，得A的特征向量.

所以，λE₃-A=0的根，即A的特征值为λ=-5，1（二重）.

设对应λ=-5的特征向量为x=（x₁，x₂，x₃）T，则x满足（-5E₃-A）x=0，即

由于

所以，式（1）与方程组，同解.因此式（1）的基础解系为（-1，1，1）^T.从而A的对应特征值λ=-5的所有特征向量为c（-1，1，1）^T（其中c为任意非零常数）.

设对应λ=1的特征向量为y=（y₁，y₂，y₃）^T，则y满足

（E₃-A）y=0，即显然，式（2）与方程y₁-y₂-y₃=0同解.因此式（2）的基础解系为

（1，1，0）^T，（1，0，1）^T.从而A的对应特征值λ=1的所有特征向量为

c₁（1，1，0）T+c₂（1，0，1）^T（c₁，c₂是不全为零的任意常数）.

例6.5.5 设n阶矩阵

求A的所有特征值与特征向量.

精解 由于

=[λ-a-（n-1）b]（λ-a+b）n-1，所以，A的所有特征值为λ=a+（n-1）b，a-b（n-1重）.

设对应特征值λ=a+（n-1）b的特征向量为x=（x₁，x₂，…，x_n）^T，则x满足方程组

显然该方程组有解α₀=（1，1，…，1）T（n维非零列向量）.由于方程组（1）的系数矩阵的n-1阶子式

所以，方程组（1）的系数矩阵的秩为n-1，从而α₀是方程组（1）的一个基础解系.因此λ=a+（n-1）b对应的所有特征向量为（c是任意非零常数）.

设对应特征值λ=a-b的特征向量为y=（y₁，y₂，…，y_n）^T，则y满足方程x₁+x₂+…+x_n=0，它的基础解系为n维向量组

（-1，1，0，…，0）^T，（-1，0，1，…，0）^T，（-1，0，…，1）^T.所以，λ=a-b对应的所有特征向量为

c₁（-1，1，0，…，0）^T+c₂（-1，0，1，…，0）^T+…+c_n-1（-1，0，…，1）^T，其中，c₁，c₂，…，c_n-1是任意不全为零的常数.