矩阵的相似对角化
【主要内容】
1.矩阵可相似对角化的定义
设A是n阶矩阵，如果它与n阶对角矩阵Λ相似，则称A可化为相似的对角矩阵，简称A可相似对角化.
n阶矩阵A可相似对角化的条件：
（1）A有n个互异的特征值是A可相似对角化的充分而非必要条件.
（2）A是实对称矩阵是A可相似对角化的充分而非必要条件.
（3）A有n个线性无关的特征向量是A可相似对角化的充分必要条件.
（4）A的每个ni重特征值λi的特征矩阵λiEn-A都满足r（λiEn-A）=n-ni是A可相似对角化的充分必要条件.
2.矩阵相似对角化方法
要将n阶矩阵A相似对角化，实质上是寻找可逆矩阵P和对角矩阵Λ，使得P-1AP=Λ，P和Λ可按以下步骤计算：
（1）计算A的n个特征值λ1，λ2，…，λn（其中可能有相同的）；
（2）逐个计算对应λ1，λ2，…，λn的特征向量，记为ξ1，ξ2，…，ξn；
（3）写出P与Λ：P=（ξ1，ξ2，…，ξn），
【典型例题】
例6.7.1 （单项选择题）下列矩阵中，不能相似对角化的是（）.
精解 首先，考虑选项A的矩阵
由于它有三个不同的特征值λ=1，2，3，
所以必可相似对角化，故A不能选.
其次，考虑选项B的矩阵
（记为B）.它有二重特征值λ=1，由于1·E3-B
的秩为2，即r（1·E3-B）=2≠3-2（其中，3是矩阵的阶数，2是λ=1的重数），所以选项B的矩阵不可相似对角化.
因此本题选B.
例6.7.2 设三阶矩阵
，
都与对角矩阵相似，求参数a，b的值.
精解 通常要确定两个相似矩阵A，B中包含的参数，是利用trA=trB和A=B，但对于本题这种方法却失效，因此从考虑A，B相似对角化入手.
由
=λ2（λ-1）-（λ-1）=（λ+1）（λ-1）2知，A有二重特征值λ=1.此时
，所以，由A可相似对角化知
r（1·E3-A）=（A的3阶数）-（λ=12的重数）=1.从而有a+b=0.（1）
由于用-b-1代替A中元素b，A就变成B，所以由B可相似对角化得
a+（-b-1）=0，即a-b=1.（2）
由式（1）、式（2）得
，
例6.7.3 已知矩阵
，
相似.
（1）求x，y的值；
（2）求可逆矩阵P，使得P-1AP=B.
精解 （1）由A～B知A与B有相同的特征值及相同的迹，由此算出x与y的值.显然，B有特征值λ=-1，2，y.此外由
知A有一个特征值λ=-2.所以由A与B有相同特征值知y=-2.
由trA=trB，即-2+x+1=-1+2+y得x=2+y=2-2=0.
（2）将x=0代入A得
为计算P，先计算A的特征值与特征向量.
由B有特征值为-1，2，-2得A的特征值λ=-1，2，-2.
设A的对应λ=-1的特征向量为x=（x1，x2，x3）T，则x满足（-E3-A）x=0，即
由于
，所以式（1）与方程组
同解，从而式（1）有基础解系（0，-2，1）T.
设A的对应λ=2的特征向量为y=（y1，y2，y3）T，则y满足
（2·E3-A）y=0，即
由于
，所
以式（2）与方程组
同解.从而式（2）有基础解系（0，1，1）T.
设A的对应λ=-2的特征向量为z=（z1，z2，z3）T，则z满足（-2E3-A）z=0，即
由于
，所以式
（3）与方程组
同解，从而式（3）有基础解系（1，0，-1）T.
于是A有特征向量ξ1=（0，-2，1）T，ξ2=（0，1，1）T，ξ3=（1，0，-1）T，它们分别对应特征值-1，2，-2，所以，所求的
它们满足P-1AP=Λ=B.
例6.7.4 设矩阵
，问当k为何值时，A与对角矩阵相似，即存在
可逆矩阵P，使得P-1AP=Λ（对角矩阵）？并且求P及Λ.
精解 由于trA与|A|中都不含k，所以应从计算A的特征值入手，如有二重的，则其对应的特征矩阵秩应为1，由此确定k的值.而P和Λ则可按常用方法计算.
由于
所以，A有二重特征值λ=-1.显然，由
知，当且仅当k=0时，r（-E-A）=（A的3阶数）-（λ=-21的重数），即当且仅当k=0时A可相似对角化.
当k=0时，
，由式（1）知，它有特征值λ=1，-1（二重）.
设对应λ=1的特征向量为x=（x1，x2，x3）T，则x满足
（E3-A）x=0，即
由于
，所以式
（2）与方程组
，
同解，其基础解系为ξ1=（1，0，1）T（即A的对应特征值λ=1的特征向量）.
设对应λ=-1的特征向量为y=（y1，y2，y3）T，则y满足（-E3-A）y=0，即
，或2y1+y2-y3=0，其基础解系为ξ2=（1，-2，0）T和ξ3=（0，1，1）T（即A的对应特征值λ=-1的特征向量）.
于是所求的
（可逆矩阵）及
例6.7.5 设3阶矩阵A满足Aαi=iαi（i=1，2，3），其中，α1=（1，2，3）T，α2=（2，-2，1）T，α3=（-2，-1，2）T，求A.
精解 由题设A有三个不同的特征值，知A可相似对角化，因此只要找到满足P-1AP=Λ的P与Λ，即可得到A.
由于A有特征值1，2，3，且α1，α2，α3为对应的特征向量，所以记
（可逆矩阵）
时，有
，即
由于
所以，
将式（2）代入式（1）得
