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n元非齐次线性方程组及其解法

2025年09月26日
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二 、n元非齐次线性方程组及其解法

【主要内容】

1.n元非齐次线性方程组的概念

978-7-111-46245-3-Part02-198.jpg

（其中，b1，b2，…，bm是不全为零的常数，称为该方程组的常数项）称为n元非齐次线性方程组，记

978-7-111-46245-3-Part02-199.jpg

则上述方程组可简记为Ax=b.（Ⅰ）

称满足式（Ⅰ）的x为该方程组的解或解向量.称与式（Ⅰ）对应的齐次线性方程组Ax=0（Ⅱ）

（其中，0是m维零（列）向量）为方程组（Ⅰ）的导出组.

非齐次线性方程组解的性质：

（1）设η1，η2都是方程组（Ⅰ）的解，则η1-η2是方程组（Ⅱ）的解.

（2）设ξ是方程组（Ⅰ）的特解，η是方程组（Ⅱ）的解，则ξ+η是方程组（Ⅰ）的解.

2.n元非齐次线性方程组有解的充分必要条件

方程组（Ⅰ）有无穷多解的充分必要条件为978-7-111-46245-3-Part02-200.jpg（其中，978-7-111-46245-3-Part02-201.jpg称为方程

组（Ⅰ）的增广矩阵）.

方程组（Ⅰ）有唯一解的充分必要条件为978-7-111-46245-3-Part02-202.jpg

方程组（Ⅰ）无解的充分必要条件为978-7-111-46245-3-Part02-203.jpg

3.非齐次线性方程组的通解

当r（A）=r（A）<n时，方程组（Ⅰ）有无穷多解，这时它的通解为

x=c1ξ1+c2ξ2+…+cn-rξn-r+η，其中，ξ1，ξ2，…，ξn-r（r=r（A））是导出组（Ⅱ）的一个基础解系，η是方程组（Ⅰ）的一个特解.

注 设A是n阶可逆矩阵，记其行列式为D，则方程组Ax=b有唯一解，x=A-1b，

即978-7-111-46245-3-Part02-204.jpg，

其中，Di是D的第i列用b代替后的行列式（i=1，2，…，n）（以上称为克莱姆法则）.

【典型例题】

例6.2.1 （单项选择题）设非齐次线性方程组Ax=b（其中，A是m×n矩阵），记r（A）=r，则（ ）.

A.r=m时，Ax=b有解 B.r=n时，Ax=b有唯一解

C.m=n时，Ax=b有唯一解 D.r<n时，Ax=b有无穷多解

精解 考虑非齐次线性方程组Ax=b的有解问题时，首先应考虑r（A）=r（A）是否成立.当r=m时，978-7-111-46245-3-Part02-205.jpg，所以Ax=b有解.

因此本题选A.

例6.2.2 （单项选择题）设α1，α2，α3是四元非齐次线性方程组Ax=b的三个解向量，且r（A）=3，α1=（1，2，3，4）T，α2+α3=（0，1，2，5）T，k为任意常数，则Ax=b的通解x=（ ）.

A.α1+k（1，1，1，1）T B.α1+k（α2+α3）

C.α1+k（2，3，4，3）T D.α1+k（3，4，5，6）T

精解 由r（A）=3知，Ax=b的导出组Ax=0的基础解系只含有一个解向量，可以取为

2α1-（α2+α3）=（2，3，4，3）T，所以，Ax=b的通解为

x=α1+k（2，3，4，3）T.

因此本题选C.

例6.2.3 已知β1，β2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，α1，α2是对应的导出组Ax=0的一个基础解系，k1，k2是任意常数，则方程组Ax=b的通解是（）.A.

978-7-111-46245-3-Part02-206.jpgB.978-7-111-46245-3-Part02-207.jpg

C.978-7-111-46245-3-Part02-208.jpgD.978-7-111-46245-3-Part02-209.jpg

精解 首先指出978-7-111-46245-3-Part02-210.jpg是Ax=b的一个特解，此外，α1，α1-α2都是Ax=0的解，且

它们线性无关，所以也是Ax=0的一个基础解系.从而Ax=b的通解为

978-7-111-46245-3-Part02-211.jpg

因此本题选B.

例6.2.4 设非齐次线性方程组

978-7-111-46245-3-Part02-212.jpg

（1）问a，b为何值时，方程组有解；

（2）方程组有解时，求出它的通解.

精解 （1）所给方程组的增广矩阵为

978-7-111-46245-3-Part02-213.jpg

由此可知，当a，b满足978-7-111-46245-3-Part02-214.jpg

，

{，即a=1，b=3时，所给方程组的增广矩阵与系数矩阵有

相同的秩2，此时此方程组有解（有无穷多解）.

（2）当a=1，b=3时，所给方程组的增广矩阵

978-7-111-46245-3-Part02-215.jpg

所以，此时原方程组与方程组978-7-111-46245-3-Part02-216.jpg

同解.

方程组（1）的导出组

978-7-111-46245-3-Part02-217.jpg

有3个自由未知数，取为x3，x4，x5，对它们赋值为1，0，0；0，1，0；0，0，1得该导出组的基础解系为

（1，-2，1，0，0）T，（1，-2，0，1，0）T，（5，-6，0，0，1）T.

此外方程组（1）有特解（-2，3，0，0，0）T.所以原方程组的通解为

（x1，x2，x3，x4，x5）T=（-2，3，0，0，0）T+c1（1，-2，1，0，0）T+

c2（1，-2，0，1，0）T+c3（5，-6，0，0，1）T.

例6.2.5 已知非齐次线性方程组

978-7-111-46245-3-Part02-218.jpg

有3个线性无关的解.

（1）证明：方程组系数矩阵A的秩r（A）=2；

（2）求常数a，b的值及方程组的通解.

精解 （1）设三个线性无关的解为α1，α2，α3，则α1-α2，α1-α3是所给方程组的导出组Ax=0的两个线性无关解，所以Ax=0的基础解系中至少包含两个解向量，由此得到

4-r（A）≥2，即 r（A）≤2.（1）

另外，由所给方程组r（A）≥2.（2）

由式（1）与式（2）得 r（A）=2.

（2）由于978-7-111-46245-3-Part02-219.jpg

978-7-111-46245-3-Part02-220.jpg

所以，由r（A）=2得978-7-111-46245-3-Part02-221.jpg{， 即a=2，b=-3.将它们代入所给方程组的增广矩阵得

978-7-111-46245-3-Part02-222.jpg

由此可知，当a=2，b=-3时，所给方程组与方程组

978-7-111-46245-3-Part02-223.jpg

同解.

方程组（3）的导出组

978-7-111-46245-3-Part02-224.jpg

有两个自由未知数，取为x3，x4，并赋值为1，0与0，1，于是该导出组的基础解系为

（-2，1，1，0）T，（4，-5，0，1）T.此外方程组（3）有特解（2，-3，0，0）T.所以原方程组的通解为

x=c1（-2，1，1，0）T+c2（4，-5，0，1）T+（2，-3，0，0）T.