平面薄片的质量与质心

三、平面薄片的质量与质心

由二重积分的物理意义可知，若平面薄板D的面密度为μ=μ（x，y），则D的质量为

下面来研究平面薄板D的质心.

由中学物理知识可知，若质点是由n个质点m1，m2，…，mn组成（其中mi也表示第i个质点的质量），并设mi的坐标为（xi，yi）（i=1，2，…，n），它的质心为，则有

将非均匀平面薄板D先任意分成n个小块Δσi（i=1，2，…，n），在Δσi上任取一点（xi，yi），认为在Δσi上密度分布是均匀的，其密度为μ=μ（xi，yi），则Δσi的质量近似等于μ（xi，yi）Δσi.令λ→0，可得平面薄板D的质心为

当密度分布均匀时，μ为常数，则质心坐标为

其中σ为D的面积.又称上式表示的坐标为D的形心坐标.

例4 求质量均匀分布的半圆形薄板的形心.

解 设半圆的圆心在原点，半径为R（图3-19）.则半圆形区域D为

由于区域D关于y轴对称，所以，下面只需计算.因质量分布均匀，故

因此半圆的形心为.