空间立体的体积

由二重积分的几何意义可知，当f（x，y）≥0时，二重积分的值等于以D为底，以z=f（x，y）为曲顶的曲顶柱体的体积.因此，可以利用二重积分计算空间立体的体积.

例2 求由平面z=0及抛物面x2+y2=6-z所围成的几何体.

解 如图3-17所示，几何体可看成是以xOy面内的区域D：x2+y2≤6为底，以曲面z=6-x2-y2为顶的曲顶柱体.

图3-17

例3 求由旋转抛物面z=x2+y2与平面z=h所围成的立体的体积.

图3-18

解 如图3-18所示，由于抛物面z=x2+y2与平面z=h相截所得交线是圆心在z轴上，半径为的圆，故所求立体在xOy面上的投影区域D是以原点为圆心，半径为的圆.易知所求立体的体积是以D为底、高为h的正圆柱体积，与以旋转抛物面z=x2+y2为顶，以D为底的曲顶柱体的体积之差.

正圆柱体体积V1=πh·h=πh2.