2.3.3　χ2分布

2.3.3　χ 2分布

定义2.3.1 设X1，X2，…，Xn是来自总体N（0，1）的样本，则称统计量服从自由度为n的χ2分布，记为χ2～χ2（n）。

可以证明：χ2（n）分布的概率密度函数为

其中，，称为Gamma函数。

f（y）的图形如图2.3.1所示。

图2.3.1　自由度不同的卡方密度曲线（基于R绘制）

χ2分布具备如下一些性质。

（1）若，且与相互独立，则

（2）若χ2～χ2（n），则

E(χ2)=n,D(χ2)=2n

我们仅就第2个性质说明如下。

因为Xi～N（0，1），所以(https://www.daowen.com)

于是

当X1，X2，…，Xn是来自总体N（μ，σ2）的样本时，也记

事实上，令

显然，Y1，Y2，…，Yn相互独立，且服从同一分布N（0，1），所以由定义2.3.1知：

关于χ2分布，人们引入了分位数（Fractile）（也称分位点、临界值或阈值）的概念，并制成了相应的分位数值表（见附表4），可供查询。

定义2.3.2 对任意正数α，0＜α＜1，若P{χ2＞χ2α（n）}=α，则称χ2α（n）为χ2分布的100α%分位数，如图2.3.2所示。

图2.3.2　卡方分布的100α%分位数χ2α（n）（基于R绘制）

从定义可以看出：

因此，可利用χ2分布的分位数值表求得χ2随机变量落在任何一个区间内的概率。