五、直方图
直方图是表示特性值(尺寸、重量、时间等计量值)频度分布的柱状图。
通过制作直方图,可以一目了然地观察出数据分布的形状、数据分布的中心位置、数据分散的程度、数据和质量标准(规格)的关系。
1.直方图的制作
(1)收集数据。
某公司制造了一批保健食品,约1万包,每天抽取10包测量质量,共测量10天得到下列数据,结果如表5-5。
表5-5 产品质量测定结果(单位:g)
(2)计算极差。
找出所有数据中的最大值Xmax和最小值Xmin,计算极差R。本例中Xmax=15.0,Xmin=12.9,因此R=2.1。
(3)确定临时区间数。
把整个数据分成若干个等间隔的区间(数据的组数)。通常根据数据的多少确定区间数K,可以参考下标进行确定。本例中,数据数量为100,可以取K=10(表5-6)。
表5-6 区间数确定参考
(4)确定区间宽度。
区间宽度h(组距)是指区间上边界值之间的差。区间宽度按下式计算,且应与测量最小单位成整数倍的关系。
本例中,
由于测量测量单位为0.1,所以最终取h=0.2。
(5)确定区间的边界值。
各区间的边界值(上下限)应精确到最小测量单位的1/2,以避免边界值与数据值的重合而使数据难以归属区间。第一区间的边界值应为Xmin±h/2;第一区间的上限值是第二区间的下限值;第二区间的上限值等于其下限值加上组距h……,依次类推。每一区间的上下限的平均值为组中值,它是每个区间的代表值。
(6)作频数分布表。
将数据归入相应的区间,统计各区间的数据个数(频数),得频数分布表。
本例中,频数分布表如表5-7所示。
表5-7 频数分布
续表
(7)作直方图。
以横坐标表示质量特征值,纵坐标表示频数,以组距为底,以频数为高,作出一系列矩形,再在横坐标上表明区间边界,就得到了整个数据的直方图(图5-5)。
图5-5 直方图
2.直方图的观察与分析
(1)直方图的形状分析。
直方图的形状有图5-6所示几种类型:
①正常型。
正常型直方图有一个高峰,两侧基本对称且向两侧单调下降。
②锯齿型。
锯齿型直方图中数据分布无规律,每个区间的频数时高时低呈现锯齿状。这可能是由于分组不当、测量方法有问题造成的。
③偏向型。
直方图中的高峰偏向一侧分布。有些数据本身就服从这样的分布,如百分率,也可能是由于系统误差、工作习惯、心理余量造成的。
④双峰型。
直方图中间的区间频数较低,在两侧各出现一个形状差不多的“直方图”。这种情况往往是把平均数不同的两组数据混合在一起作图造成的,如在测量数据时把不同生产条件下的产品混在了一起。
⑤孤岛型。
在一个直方图中出现一大一小两个“直方图”。这表明出现了某种异常,如少数产品是由个别素质不同寻常的操作人员生产的,或在某一短暂时间段内机器设备出现了异常。(https://www.daowen.com)
⑥平顶型。
直方图中没有突出的峰。这可能是由于多个总体混在一起,或质量指标在某个区间呈均匀分布造成的。
图5-6 不同形状的直方图
(2)直方图与质量标准比较。
由直方图可计算出产品质量特征值分布的均值、标准偏差、工序能力指数等参数。对于异常形状的直方图,应分析其原因;对于正常形状的直方图,还需通过数据平均值与标准中心值的偏离、数据标准偏差与质量标准偏差来判断实际生产过程满足规格要求的程度。
设质量标准上下限分别为Su与Sl,则规格范围为S=[Sl,Su],中心值为SM=(Su+Sl)/2。产品的质量特征值Xi最大值和最小值分别为Xmax与Xmin,则数据范围为X=[Xmax,Xmin],中心值为XM=(Xmax+Xmin)/2。则产品质量特征值的直方图与质量标准偏差相比较大致有以下几种情况(图5-7):
①理想型。
X位于S内,XM≈SM,两侧有余量(0.5～1个标准差),产品合格,工序处于完全稳定控制状态。
②单侧无余量型。
X位于S内,但一侧余量太小,工序稍有波动,产品质量数据就会超出质量标准范围,出现不合格品。
③双侧无余量型。
X基本位于S内,但双侧无余量,工序稍有波动,就会产生大量不合格品。
④单侧超差型。
X的上限或下限已超出S的范围,已经产生不合格品。
⑤双侧超差型。
X的上限和下限都已超出S的范围,出现了大量不合格品。
图5-7 直方图与质量标准比较
3.工序能力分析
工序能力:指在正常稳定的生产条件下,均有使生产的产品达到一定质量水平的能力,简单地说就是工序能够生产合格品的能力,用符号B表示。
公差:实际参数值(质量特征值)的允许变动量,用符号T表示,T=Su-Sl。
工序能力指数:公差T与工序能力B之比,是指工序能够满足公差要求的程度,用符号Cp表示,
(图5-8)。
图5-8 Cp与S关系图
根据质量数据和质量标准可以计算工序的Cp值,分为以下两种情况。
(1)若XM=SM。
当质量数据中心与质量标准中心一致时:
其中S为质量数据的标准偏差,可以按照下式计算得到,
在上例中,如设定S=[12.70,14.80],即上下限规格分别为SL=12.70g,SU=14.80g,则通过已知的100个质量数据计算得到的Cp为:
(2)若XM≠SM。
当质量数据中心与质量标准中心不一致,即两者偏离时,为了正确地进行评价,应采取考虑分布中心偏离的工序能力指数,即:
由此可知,上例中,实际的工序能力指数Cpk为:
工序能力满足公差要求的程度分为下面三种情况:
(1)工序能力指数等于1,即工序能力恰好能满足公差要求。此时的工序稍有变化或质量标准稍有变更,就会产生不合格品,如图5-7中的双侧无余量型。
(2)工序能力指数小于1,即工序能力不能满足公差要求。这时必须采取措施,提高工序能力或降低质量标准,才能避免产生不合格品。
(3)工序能力指数大于1,即工序能力充分满足公差要求。这时的工序有所变化或质量标准稍有提高,也不会产生不合格品,如图5-7中的双侧余量过剩型,其中Cp为1.33左右时,最为理想,如图5-7中的理想型。
