七、控制图

1.控制图概念

控制图就是对生产过程的关键质量特性值进行测定、记录、评估并监测过程是否处于受控状态的一种统计学方法。它是根据假设检验的原理制作统计图表,用于监测生产过程是否处于控制状态的一种重要工具。

如图5-11(a)所示,是一定时间内测定的产品的质量数据,反映了生产过程中产品质量随时间变化的情况,也是工艺过程的质量变化;如果在此基础上,在图中添加上控制界限和中心线作为判断产品质量是否异常的标准,得到图5-11(b),这样的图就称为控制图。

图5-11　控制图

只要代表产品质量数据的点在上下控制线范围内,生产过程就是正常进行,也即过程是稳定的,倘若代表质量数据的点有出现在控制线以外的,就说明过程出现了异常。

与公差界限不同,控制界限用来评判工序是否稳定、有无异常,而前者主要用来判断产品是否合格,质量数据是否超出了质量标准的要求。

2.控制图原理

质量数据具有波动性,在没进行观察分析时,一般是未知的,但具有一定的规律性,它们是在一定范围内波动的,是随机变量。

如果随机变量受大量独立的偶然因素影响,每种因素的影响小且均匀,即没有一项因素影响是特别突出的,则随机变量将服从正态分布(图5-12)。

图5-12　μ和σ对正态分布曲线的影响

正态分布,又称高斯分布,是连续型随机变量最常见的一种分布。一般来说,在生产条件正常的情况下,产品的质量特征值大多服从正态分布。

(1)正态分布的定义。

若随机变量的密度函数为:

则称p(x)服从正态分布,记为p(x)～(μ,σ)。

正态分布曲线概率密度函数中,μ为数据平均值,σ为数据的标准偏差。μ决定了正态分布曲线的位置,而σ影响着正态分布曲线的形状,只要μ和σ确定了,正态分布曲线的位置和形状也就确定了,因此μ和σ被称为正态分布曲线的数字特征值。

由概率论可知,质量特征值的测定数据落入一定范围内的概率如表5-9所示。假如,测定1 000个产品,其质量特征值数据出现在(μ-3σ,μ+3σ)范围内的可能有997个,而出现在(μ-3σ,μ+3σ)范围之外的可能不超过3个。这可以理解为,在生产过程有系统因素的影响下,仅有大量偶然因素的影响,则质量特征值数据出现在(μ-3σ,μ+3σ)范围内的概率为99.73%,而出现在(μ-3σ,μ+3σ)范围之外的概率只有不到0.27%,为小概率事件。小概率事件在一次测定(试验)中被认为是不可能发生的,如果小概率事件出现了,即某一个或某些质量特征值数据出现在了(μ-3σ,μ+3σ)范围之外,则表明生产过程出现了异常。控制图正是基于以上结论而产生的,在产品质量控制中主要用于评判生产状态是否正常和稳定。

表5-9　概率分布

续表

(2)从正态分布曲线到控制图的转变。

如果将数据的正态分布曲线(图5-13a)旋转到一定位置,即得到了控制图的基本形式(图5-13b),再去掉正态分布的概率密度曲线就得到了控制图的轮廓线,最后添加上质量数据就得到了控制图(图5-13c)。

图5-13　从正态分布曲线转变到控制图

(3)两类影响因素。

生产过程的稳定性会受到两类因素的影响,一类是随机因素,如同批次原料品质的差异;一类是系统因素,如机械故障、工作态度等。随机因素带来的产品质量波动是不可避免的,它影响着σ值的大小,如果生产过程仅受到随机因素的影响,产品质量特征值的分布往往有较稳定的分布规律,如正态分布。系统因素对产品的质量影响较大,但一般是可以消除的。

对于不出现异常的生产过程,产品质量特征数据分布有一定的规律性,不随时间变化而变化,这种总体质量不随时间变化而变化的生产状态称为稳定状态或统计管理状态。控制图的作用就在于能通过产品质量特征值的分布情况评判产品生产过程是否处于稳定状态。

(4)两类错误——控制界限的确定。

用控制图来控制生产过程,当质量数据超出界限时,就认为生产过程出现了异常、不稳定,这是因为原本不应该出现的小概率事件发生了。例如,采用μ±3σ作为控制界限,测定的质量特征值出现在(μ-3σ,μ+3σ)范围之外的可能性为0.27%,虽然概率很小,但并不是绝对不可能发生的,因此,在按照控制图的原理评判生产过程稳定与否时就会出现下列错误:在1 000次中可能有3次将本来稳定的生产状态误判为不稳定状态。将正常的生产过程评判为异常,这是第一类错误,称为弃真错误α。另外,如果生产状态确实已经异常,但所测量的质量特征值仍然没有超出控制范围,这时根据控制图的原理我们会评判生产过程是正常的,这就犯了第二类错误,即存伪错误β(表5-10)。

表5-10　弃真错误与存伪错误

孤立地看,哪一种错误都是可以避免的,但要同时避免两种错误却是不可能的。减少一种错误的发生就会增加另外一种错误的发生。根据经验证明,当控制图的界限定位μ±3σ时,两种错误造成的损失最小。另外,对于存伪错误来说,可以通过增大质量特征值的测量数量(样本容量)来降低。

3.控制图的制作

在此介绍两种常用的控制图的制作方法:单值—移差控制图、平均值—极差控制图。

(1)单值—移差控制图。

单值—移差(x—Rs)控制图是计量值最基本的控制图,其数据不需分组,可直接使用。

x—Rs控制图是利用质量特征值数据的离差来反映和控制产品质量特性的离散程度。Rs是指相邻的两个质量特征值数据之差的绝对值,即有:

x—Rs控制图的控制界限为:

CL=μ

UCL=μ+3σ(https://www.daowen.com)

LCL=μ-3σ

在μ和σ未知的情况下,CL、UCL及LCL可按照下述方法估计:

①生产条件与以往相同,生产过程稳定,可采用以往的经验值(μ、σ)。

②在没有经验值(μ、σ)时,可根据“样本均值是总体平均值μ的无偏估计量”原则,进行随机抽样,用样本容量大于30的样本均值代替μ;根据“样本方差S是总体方差σ的无偏估计量”原则,用样本方差S代替σ。

由于Rs的计算较S简便,常用Rs来估算S:

因此,有:

而对于Rs则有:

其中,N为随机抽样的样本容量,d2为与N有关的系数,可查控制图用系数表5-12得到。

以表5-11中的数据为例,制作x—Rs控制图。

因为在计算Rs时,样本容量为2,所以查表5-11得d2=1.128,D3=0,D4=3.267,则x—Rs控制图中:

Rs图的控制界限为:

x图的控制界限为:

表5-11　示例数据表

表5-12　计量值控制图用系数表

根据以上结果,作出本例的x—Rs控制图如图5-14所示:

图5-14　x—Rs控制图

(2)平均值—极差控制图。

平均值—极差控制图(—R)也是计量值最常用的控制图之一,其中x为样本平均值,R为极差。

如前所述,正态分布是质量管理中连续型质量特征值数据经常遇到的一种分布状态,但在生产中还存在许多非正态分布的质量特征值数据。这样的问题,可以通过对样本均数分布状态特点的研究加以解决。

根据数理统计的中心极限定理:任意总体,不论其分布状态如何,若总体的平均数和标准偏差存在,则随机变量的样本均数的分布状态,随着样本量N的增大而逐渐接近于正态分布。简而言之,不论总体分布状态如何,当N足够大时,它的样本均数总是趋于正态分布。这就是样本均数分布状态的特点。利用这个特点,可以把非正态分布的总体变成正态分布,从而运用正态分布的规律对生产过程进行控制。