§5.4　二次型及其标准形

二次型理论与代数数论、几何学等都有密切的联系,其应用范围涉及工程技术、经济管理、社会科学以及数学的其他分支.

二次型的一个重要问题就是化二次型为标准形,即通过变量的代换,将其化简为一个只含平方项的形式.一个二次型总可与一个实对称方阵相联系.因此,化二次型为标准形就是通过可逆线性变换将二次型矩阵对角化.

正交变换是一种特殊的可逆线性变换.使用正交变换化二次型为标准形,可以具有保持二次型几何图形形状不变的优点.

还可以用多种方法去寻求各种满秩(可逆)的线性变换,把二次型化为标准形.如用初等变换法、配方法等.

正定二次型及正定矩阵也是十分重要的概念.