弹性薄板弯曲问题

如图7.1所示平板结构为一等厚平板，平分板厚的中间平面，称作板的中面。

图7.1　平板结构

平板结构在静力荷载范围内，主要承受两种形式的荷载，即外力系作用于板的中面内，外力垂直于板的中面的横向荷载。前者使得板面内产生拉伸、压缩和剪切变形，此时平板的变形仍保持平面状态。这类问题是第2章已经讨论过的平面应力问题。后者使得板发生的弯曲、扭转变形，此时平板变形后不再保持平面形状而像梁一样产生弯曲和扭转，这类问题称为平板弯曲问题。实际上，平板可能同时承受横向与纵向两种荷载。

在外力作用下，平板内部将产生内力。平板的内力可分为两类，即弯曲内力和薄膜内力。使板发生弯扭变形的内力，即弯矩、扭矩和横向剪力，称为弯曲内力；使板面内产生拉、压和剪切变形的内力，即指作用于板面内拉、压和剪切力，称为薄膜内力。

对于平板结构分类，从其受力与变形的状况而言，一般来说，当平板中面最大挠度w远小于板厚t时，通常称这类问题为平板的小挠度弯曲问题，此时，弯曲内力≫薄膜内力，因而可以不考虑薄膜内力产生的中面变形；当w与t的大小在量级上相当时，通常称为平板的大挠度弯曲问题，即几何非线性问题，此时，弯曲内力与薄膜内力的大小在量级上亦相当；当w≫t时，弯曲内力≪薄膜内力，可以略而不计，此时，仅考虑薄膜内力产生的中面变形，平板退化为膜结构。当然，以上3类平板并没有严格的界限，应根据实际问题的需求，选择相应的简化与分析方法。

从几何形态来看，当板的厚度t远小于中面最小尺寸时，称其为薄板。

本章仅针对小挠度薄板弯曲问题，介绍常用的矩形单元的分析方法与过程。