▶6.4.2　空间梁单元

▶6.4.2　空间梁单元

（1）局部坐标系下的三维梁单元

如图6.6所示为一空间局部坐标系下的2结点空间梁单元，该单元和平面梁单元的区别在于，三维梁单元不但能够承受轴力、剪力和弯矩，还可以承受扭矩，而且可以在两个坐标面内同时承受弯矩。另外，三维梁单元的每个结点有6个自由度，也称为6个广义位移，它们是沿3个坐标轴方向的位移u＇，v＇，w＇和绕3个坐标轴的转角，其中表示绕x＇轴的转角，表示绕y＇轴的转角，表示绕z＇轴的转角。与6个广义位移对应，每个结点有6个广义力：，其中，是沿梁轴线方向的轴力，和分别是沿y＇轴方向和z＇轴方向的剪力，是绕x＇轴的扭矩，和分别是绕y＇轴和z＇轴的弯矩。

图6.6　局部坐标系下的三维梁单元

在x＇y＇平面内受力的梁单元的刚度矩阵式（6.63）、结点力和结点位移关系的刚度方程（6.62）已在第6.3节中给出，单元刚度方程（6.62）表示的是单元结点力和单元结点位移u＇，v＇，之间的关系，同时可以导出结点力的关系，然后将它们综合到一起，就可以得到局部坐标系内的空间梁单元的刚度矩阵，见式（6.77）。

对于局部坐标系下的三维梁单元，其结点力与结点位移的关系可以写成

（2）总体坐标系下的三维梁单元

要进行三维刚架的有限元分析，需要将局部坐标系下建立的单元刚度矩阵转换到总体坐标系中，转换原理和方法与平面梁单元的坐标转换相同。

总体坐标系下的梁单元刚度矩阵k可通过如下转换得到

其中，k＇是局部坐标系下的三维梁单元的刚度矩阵，见式（6.77），T是三维转换矩阵，转换矩阵可以根据单元的总体结点坐标求出，具体计算方法可参考有关文献。

在式（6.77）中，A为横截面面积，L是单元长度，Iy和Iz分别为横截面对y＇，z＇轴的主惯性矩，Jk是扭转惯性矩，E和G是弹性模量和剪切模量。