2.2　(M,R)插值型可加细函数向量的定义和充要条件

2.2　(M,R)插值型可加细函数向量的定义和充要条件

定义2.2.1　如果可加细函数φ 是连续的,且满足

则称可加细函数φ 是具有插值性的,即φ 是插值型可加细函数。

文献[52]中给出了多元(M,R)插值型可加细函数向量的定义如下。

定义2.2.2　设M 和R 是两个s×s 阶膨胀矩阵,并满足

如果M-可加细函数向量φ=(φ1,…,φr)T:ℝS|→Cr×1是连续的,且满足

这里l=1,…,r 及p=1,…,r-1,则称M-可加细函数向量φ 具有关于膨胀矩阵R 的(M,R)-插值性,即(M,R)插值型可加细函数向量,其中M 和R 分别是φ 的尺度膨胀矩阵和重数膨胀矩阵。 特别地,我们称φ 的mask 矩阵函数a 为(M,R)插值型mask 矩阵函数。

下文如不做特别说明,M 和R 将始终表示尺度膨胀矩阵和重数膨胀矩阵。

两个常用的膨胀矩阵为梅花形膨胀矩阵(Quincunx dilation matrix)和Box 样条膨胀矩阵(Box-spline dilation matrix),它们都属于各向同性膨胀矩阵。

下面则是关于定义2.2.2 中插值型可加细函数向量的几个说明。(https://www.daowen.com)

注2.2.1　事实上,如果我们令紧支(M,R)插值型可加细函数向量定义中M=R,那么紧支(M,R)插值型可加细函数向量就成了(M,M)插值型可加细函数向量,两个膨胀矩阵的陪集当然就一致了。

注2.2.2　为了便于讨论,本书约定对于1≤l≤r,El 表示关于膨胀矩阵R 的第Z 个单位坐标列向量,即第Z 行上元素的值为1,其他皆为0 的r ×1 列向量。 于是式(2.23)可以等价地写成如下的形式

注2.2.3　满足定义2.2.2 的紧支(M,R)插值型可加细函数向量φ 的平移是线性无关的。

注2.2.4　任给一个紧支函数向量φ∈(L2(ℝs))r×1,如下定义一个平移不变空间S(φ)

于是很容易可以看出,如果φ 是一个紧支(M,R)插值型函数向量,那么对于所有的f∈S(φ),式(2.27)始终成立。

下面我们给出文献[52]给出的(M,R)插值型可加细函数向量的充分必要条件,这个条件提供了计算并验证一个可加细向量为(M,R)插值型的要求。

这里的Bp∈ℤs,p=1,…,r-1 和kp∈{0,…,r-1}是如式(2.24)给出的。

③v∞(a;M) ＞0。

如果取M =R,那么,实际上这个定理中所描述的插值条件的第二条就等价于插值条件[a(Mλ+ρj)]i,1 =δ0,λδi,j。