2.3 可加细函数向量的对称性和平衡性
本节给出多元函数情况下的对称性和平衡性的一般性描述。
在一元情形下,如果ℝ 空间上的函数φ 满足
则称函数φ 具有关于点c/2 的对称性, φ 的对称中心为c/2。
而在多元情形下,文献[33]提供了关于多元可加细函数对称性的一般性描述方法,即G-对称性。
由定义2.3.1,对于B∈G,映射:B|→MBM -1是一个由G到G的双射。 因此对于所有B∈G,必有MBM -1∈G,或等价的有M -1BM∈G。
定义2.3.2 设a 是ℤs上的一个mask 函数, G是ℤs上的对称群,如果
则称序列a 具有关于ca∈ℝs的G-对称性,这里ca 表示a 的G-对称中心。
对式(2.29)两端做Fourier 变换,经计算易得如式(2.30)的等价形式
定义2.3.3 设f 是ℝs|→ℝs上的一个函数,并且G是ℤ s上的对称群,如果
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则称函数f 具有关于cf∈ℝs的G-对称性,这里cf 表示函数f 的G-对称中心。
在一元情形下,关于膨胀因子d ＞1 的对称群通常被取为G:={ -1,1}。 在二元情形下,对称群则通常被取成如下G4:和G6:两种形式
具体可参见文献[59,60]。
定义2.3.4 设M 和N 是两个s×s 的矩阵,如果存在A,B∈G满足N=AMB,则称N 和M 是G-等价的。
基于定义2.3.4,可有如下关系式,
下面是关于具有G-对称性的紧支(M,R)插值型可加细函数向量的对称关系。
随着可加细函数向量理论研究的深入,与可加细函数向量有关的采样技术也在逐步发展。对于绝大多数的可加细函数向量,经典的采样算法有时不再适用。例如,可加细函数向量φ 具有k +1 阶精确阶,而多项式p ∈∏k 在注2.2.4 里式(2.26)的采样系数c(β) 并不一定等于多项式的值。这使得mask 矩阵函数缺少了一些重要的逼近性质。
为了解决这个问题,Lebrun 和Vetterli 最早在文献[57]中就一元情形提出了平衡性的概念。 后来,Chui 和Jiang 等在文献[58,64]中针对多元情形下正交或者双正交条件的可加细函数向量,提出了如下广义的平衡性定理。
