第3章　平行六边形上双正交Box样条周期插值小波的构造

我们构造的小波多是定义在无限区域上的,而现实生活中一般是有限区域上的问题。 有限区域形状各种各样,而平行六边形区域是其中比较典型、比较常见的。因此,构造平行六边形区域上的小波有十分重要的现实意义。 孙家昶在文献[91]中,建立了三向坐标系下平行六边形上广义Fourier 分析的方法,为平行六边形上小波的构造提供了强有力的工具。

我们通常也希望多元尺度函数和小波可以同时具有紧支性、插值性、正交性等性质,在正交情况下,要同时得到紧支性、插值性、对称性、周期性等好的性质非常困难,尤其是基插值性质,在实际应用中是非常方便的,因为此时对于给定的尺度,信号在相应尺度子空间上的投影系数恰为信号的均匀取样,从而省去了预处理过程,大大节省了计算量。 又因为Box 样条由于具有很多好的性质,也为应用中所喜欢,小波分析的专家也多首选从B 样条和Box 样条出发构造小波。 因此我们考虑在双正交情况下,构造有限区域上基于Box 样条的具有插值等一些好的性质的小波。(https://www.daowen.com)

在本章,我们利用三向坐标系下平行六边形上广义的Fourier 分析方法,从Box样条出发,首先构造了以平行六边形为周期的二元周期正交小波。 在此基础上,利用文献[72]中构造一元双正交插值周期小波的思想,构造了以平行六边形为周期的双正交插值小波。 构造的小波同时具有双正交、插值、对称、实值等好的性质。 在文献[72]中构造对偶周期尺度函数和小波以及分解与重构算法时利用了循环矩阵(以初始周期尺度函数间的内积为元素的矩阵)的方法,这就需要大量的积分运算,计算复杂。 我们给出的构造方法没有涉及尺度函数间的内积运算,从而相对于文献[72]中的方法大大地减少了计算量。