3.1　三向坐标系下平行六边形上广义的Fourier 分析方法

3.1　三向坐标系下平行六边形上广义的Fourier 分析方法

文献[91]中提出了三向坐标系下平行六边形上广义的Fourier 分析方法,给平行六边形上基于Box 样条的小波的构造提供了强大的工具,下面我们介绍这一方法。

图3.1　三向坐标O(n1,n2,n3)

图3.2　基本周期域Ω(N=4)

我们把Ξ 称为关于N 的周期点集,其中的点称为周期点。

图3.3　整节点集Δ0

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则有下面一系列事实。

命题3.1.1　对任意p∈Λ,设(t)由式(3.2)定义,则(t)是以Ω 为周期的函数,并且

其中CΩ 为平行六边形Ω 的面积。

命题3.1.3　设p=(p1,p2,p3)∈Λ,则下面叙述等价。

(1)p2 -p1 =p3 -p2 =p1 -p3 =0(mod3N)。

(2)p2 -p1 =0(mod3N),p3 -p2 =0(mod3N),p1 -p3 =0(mod3N)中任何两式同时成立。

(3)p 为关于N 的周期点,即存在m∈ℤ 2,使得p=NEm。

由此命题,可证明如下重要结果。

命题3.1.4　对∀k∈Λ,我们有

设{f(k)}k∈Δ0为定义在Δ0 上的序列,定义其广义离散Fourier 变换为

进一步有下面命题成立。

命题3.1.5　设{f(k)}k∈Δ0为定义在Δ0 上的序列,{F(k)}k∈Δ0为其由式(3.3)定义的广义离散Fourier 变换,则下面广义离散Fourier 逆变换公式成立