8.2 含时薛定谔方程
当用量子光学处理光与原子的相互作用问题时，首先考虑采用半经典理论，即：将原子简化为二能级原子，考虑二能级原子与单模经典光场的共振及近共振相互作用。求解单模光场与二能级原子的相互作用问题，也就是求解一个二能级原子与单模光场的含时薛定谔方程：
其中，系统哈密顿量可以分成两部分：
H0为描述原子自身不显含时间的哈密顿量，HI(t)为描述原子与光相互作用的微扰项。
考虑角频率为ω的光场和能级为E1和E2的二能级原子的相互作用。假设光与原子的跃迁近共振，即
那么，二能级原子的任意量子态波函数可以表示为
其中，c1和c2分别为原子处于量子态Ψ1(r,t)和Ψ2(r,t)的概率幅。将式(8.45)代入式(8.40)，并用式(8.41)表示系统哈密顿量，可以得到
由式(8.43)，可得
可以消掉式(8.46)中的几项，得到
式(8.48)两边同时乘以
，再对整个空间积分，并利用本征函数的正交性，即
可以得到
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其中
同样，两边同时乘以
，并积分，可以得到
为进一步求解方程，需要考虑微扰项HI的具体形式。在半经典理论的处理方式中，可以利用8.1节中式(8.20)给出的电偶极哈密顿量，即
令电场极化沿x轴方向，即E=(E0,0,0)cosωt，其中E0为光波电场x方向分量的振幅。则微扰项可以简化为
那么，微扰矩阵元为
由此可以定义偶极矩的矩阵元：
由于x是奇宇称算符，而原子态有确定的宇称（奇或偶），根据宇称守恒可以得到µ11=µ22=0，µ21=
。根据这些简化，式(8.50)和式(8.52)可以约化为
定义拉比频率：
这里，拉比频率被定义为角频率。为保证频率为正实数，将拉比频率表示为偶极矩阵元模的形式。则式(8.57)最后表示为
其中，φ为偶极矩阵元的相位，满足µ12=|µ12|eiφ，作为整体相位在微分方程式中可以省略不写。
为了解光场中原子的行为，必须求解式(8.59)。已经证明，式(8.59)存在两类典型的解，分别对应着弱场极限和强场极限。
