8.3　弱场极限：爱因斯坦系数B

假设原子最初处于低能级上，在t=0时刻打开光源，对应着c1(0)=1，c2(0)=0。光源强度低时，电场振幅比较小，对原子能量的扰动较弱，因此发生跃迁的原子数量比较少，c1(t)≫c2(t)恒成立。在此条件下，我们可以假设c1(t)=1,则式(8.59)简化为

在近共振区域，ω+ω0≫ω－ω0,则˙c2(t)中第二项代表频率远大于第一项的高频振荡项，按照旋波近似（rotating-wave approximation），第二项可以忽略。则当c2(0)=0时，c2(t)的解为

经过计算，可以得到

当光束调制到与原子处于共振状态时，δω=0,可以得到

这也就是说，原子处于高能级的概率随时间平方t2增大而增大。而在爱因斯坦的理论中，跃迁概率是与时间无关的，所以|c2(t)|2应该随时间线性增加。

要解决这个明显的矛盾，需要重新考虑前面的假设：原子的跃迁谱线是完全单色的。然而，我们知道实际上所有谱线都具有线宽Δω。此外，还应该考虑与原子相互作用的光来自非单色的宽带光源。这样的宽带光源可以用谱能量密度u(ω)描述，且满足

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对式(8.62)关于谱线积分，可以得到

现在，我们可以近似认为原子谱线与光场谱宽相比足够尖锐，以至于在积分范围内u(ω)不会显著变化，可以用恒量u(ω0)替代u(ω)以估算出积分值。对于tΔω→∞，积分的极限为u(ω0)2πt，最后得到

这是一个更令人满意的结果，原子处于高能级的概率随时间线性增大。

爱因斯坦理论中，处于高能级的原子随时间的变化满足

最后，可以得到

结果说明弱场极限与爱因斯坦的分析是等价的。基于此，我们可以利用原子的波函数计算出爱因斯坦系数B的具体形式。