C.1.1 二项分布
一个只有两种对立结果的简单试验，称为伯努利试验（Bernoulli experiment），这两种结果只能是“是”或“非”、“成功”或“失败”、“发生”或“不发生”，即试验结果的随机变量只有两个可能取值。也可以简单表述为：一次伯努利试验中，事件A只有发生和不发生两种对立结果，可以分别用“1”和“0”表示，对应概率分别为p和1－p,(0＜p＜1)。在概率论和统计学中，同样条件下，相互独立地进行n次重复伯努利试验（也称为二项试验），事件A发生次数X可能取值为0,1,···,n,且对每一个k(0≤k≤n),X=k表示“n次试验中事件A恰好发生k次”，则随机变量X的离散概率分布为二项分布（binomial distribution），用X～B(n,p)表示。
在符合二项分布的n重伯努利试验中，事件A以恒定概率p发生k次的概率由如下概率质量函数（probability mass function，PMF）[1]给出：
如果随机变量X满足伯努利试验的性质，并且我们已知参数n和p的值，那么就可以使用式(C.5)计算n次试验中有X=k次事件A发生的概率。显然，对于n=1的单次伯努利试验，变量X的平均值（期望值）为E(X)=1·p+0·(1－p)=p；方差为Var(X)=12·p+02·(1－p)－p2=p(1－p)。二项分布是n次独立伯努利试验的和，它的期望值和方差分别等于每次单独试验的期望值的和和方差的和,可得二项分布的平均值：E(X)=np，Var(X)=np(1－p)。当然，也很容易通过式(C.4)和式(C.5)得出。
图C.1和图C.2给出了不同参数（n,p）二项分布的变化情况。由图可以看出:二项分布的概率质量函数是单峰形状的，对于固定的n以及p，当k增加时，概率P(X=k)先是随之增大，在均值k=np处取得峰值,再是单调减小。参数n和p决定了概率函数曲线的高度、水平位置和偏斜度。
图C.1 不同概率的二项分布P(k)变化曲线（n=50,p=0.3,0.5,0.8）(https://www.daowen.com)
图C.2 不同试验次数的二项分布P(k)变化曲线（p=0.4，n=60,80,100）
二项分布是离散型随机变量的概率分布中最重要的分布之一，它概括了许多实际问题，很有实际价值。
2.双方各出5人；
3.双方各出7人。三种方案均以比赛中获胜人数多的一方为胜，问对B校球队来说，哪种方案较为有利？
解：设B校球队获胜人数为X,B校球队队员获胜概率为0.45，一般可以认为队员之间比赛的胜负结果是相互独立的，则X服从二项分布。因此，B校球队获胜的概率分别为
由此可知，第一种方案对B校球队最有利，也对A校球队最不利。这是比较容易理解的，因为参赛的队员人数越少，B校球队侥幸获胜的概率也越大。显然，当双方只有一个人比赛时，B校球队获胜的概率（0.45）为最大。
