C.1.2 泊松分布
泊松分布是一种统计与概率学里常见到的离散型随机变量的概率分布，由法国数学家泊松于1838年提出。实际上，泊松分布就是当二项分布的n很大、p很小时的极限形式。因此，泊松分布可由二项分布推导出来，推导过程如下：
其中
所以
即，在n→∞和p很小的条件下，有
这就是泊松分布的概率质量函数。泊松分布记作X～P(λ),其中参数λ＞0为某时间（空间）区间内随机事件发生次数的平均值，常称为率参数（rate parameter）。
由以上证明过程可以看出，泊松分布要求的样本量必须非常大，且各相等区间段上，事件发生的概率是独立、均等的；在非常小的区域内，事件发生率非常小，两次及以上事件同时发生的概率趋近于0。
可以证明，泊松分布的平均值和方差为
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即泊松分布的期望和方差相等。显然，λ是泊松分布所依赖的唯一参数，决定了泊松分布函数曲线的形状。如图C.3所示，λ越小，分布越偏倚；随着λ的增大，分布趋于对称。
图C.3 不同参数λ(λ=5,10,20)的泊松分布P(k)变化
泊松分布是概率论中最重要的概率分布之一，现代社会中的大量现象，如某一服务设施在一定时间内到达的人数、电话交换机接到呼叫的次数、机器出现的故障数等都服从泊松分布，所以其在运筹学和管理科学中泊松分布也有着广泛的应用。在工业生产中，每个电子元器件的瑕疵、纺织机上的断头数等也近似服从泊松分布。另外，像宇宙中单位体积内星球的个数、放射性分裂落到某区域的质点数、稳恒激光束中的光子数分布等也服从泊松分布。因此，泊松分布在金融、生物、物理和通讯中都有极其重要的地位，是这些领域非常重要建模算法。
例航天部门组织生产某一型号的运载火箭，需要某同一型号元件100个，该元件的次品率为0.01，问应该一次性购进该元件至少多少个，才能以95%以上的把握保证不用重新采购。
解：设X表示购进的100+a个元件中所含次品的个数，其中a为需要另外增购的备用元件个数。各元件是否合格显然可以认为是相互独立的，因此X服从二项分布，即
根据题目要求，我们只需找出最小的a，使之满足不等式P(X≤a)≥0.95。又因为
其中，100+a较大，0.01较小，而(100+a)·0.01=1+0.01a作为平均值大小适中，所以可以近似地用泊松分布来计算。由于在100个元件中只有一个左右的次品，可见a一定很小，因此有1+0.01a≈1,即X近似地服从泊松分布P(1)。
由此可见，a至少应为3，即至少应一次性购进103个元件才能以95%以上的把握保证不用重新采购。
