数学反思性教学案例分析
数学反思性教学源于数学教学实践，以学生在数学学习过程中遇到的困难和出现的错误为出发点，目的在于促进教师不断审视自己的教学环节、教学设计以及教学理念，以达到学生学习效果的最优化。
下面呈现几个案例[3]，通过研究者与教师的访谈记录，展示数学反思性教学的目的、方法和意义。
1．通过对学习过程的反思，确定教学重点，调整教学安排
案例1：
李老师被观听的是代数课，内容是引入“实数轴”。根据课标，本节课有两个教学目的：（1）运用实数轴画出实数，并比较实数；（2）求出一个实数的相反数和绝对值。
李老师在基本依照课本向学生表达内容时，把重点更多地放在第一个目的“数轴”上，以及将它用于比较负数。她略掉了课本中的最后一个例子，该例子是为第二个目的服务的。当被问在本节课中对学生而言哪些是最难或是最重要的知识时，她回答说：“对代数课来说，相反数和绝对值还会多次出现。我们会不断讲到它们。所以在过去，我自己发现——这是一种经验性的东西——在过去几年中当我在教这一内容‘数轴部分’时，我经常是“让我们来画两条数轴，让我们来比较它们的数字”，这样就算教完了。接着我真的花不少功夫在相反数和绝对值上。但在整个一年中我们还是要继续学习和用到相反数和绝对值。后来我发现，当学生谈到负数时，他们对哪个小和哪个大感到困惑。所以我想今年准备尝试一下，这是经验性的东西。我知道这在过去也有过。今年，让我们尝试一下使得我能甚至有更多的时间教怎样比较，这样他们能对数轴是怎样起作用的、怎样比较负数、怎样比较分数有一个概念上的理解。然后，在整个课程的学习中，我们将不断讨论相反数和绝对值。我们也将经常复习这些内容。”
从李老师的回答中我们看出李老师对过去经验的反思影响了她对教学内容的理解和教学环节的安排。
2．通过对教学知识的反思获得教学灵感，优化教学设计
案例2：
张老师被观听的几何课是介绍“线段和角度的测量”的，她用到的一个关于角的度、分、秒之关系的比喻是时间的时、分和秒，即运用时间度量上的1小时＝60分钟，以及1分钟＝60秒引导学生学习角的度量上的1度＝60分，以及1分＝60秒。当被问及“你是怎么想到这个的呢？”张老师答道：
“对你说实话，我甚至不知道教材是否提到了这些，……我只是知道——我想我们也用过其他的测量，比如米、厘米、毫米。这可以让他们理解，为什么要引入其他的量。因为他们以前所接触的很多仅仅是度。所以，他们最初的认识是，为什么还需要其他东西呢，度不就足够了吗？如果我将此与他们已经比较熟悉的东西进行对比，就能帮助他们理解得更多一些。”
面谈者：你是怎么知道这个的？
张老师：我再想想，这就像我在思考事物时我会寻找一些可比的事物。我从自己的经验中能学到很多。如果我能让某人说，你做这个就像你做那个一样，或者你有这个就好像因为你有那个一样，这就能帮助你得到一个更大的图景。
根据这位张教师的记忆，看得出她主要是通过对教学经历的反思获得了这些主意。
3．通过对学生学习结果的反思，调整教学设计
案例3：
刘老师讲的是一节几何课，其中介绍一个重要概念是“垂直”。教材一开始就直接给出了垂直的定义，与此方法不同，刘老师首先是让学生用一张纸沿对角线对折，画出线段，再测量角度。当被问及他是如何设计出这种动手的方法教此概念的，他回答这是来自他第一年的教学反思。在给出了垂直的定义后，刘老师对学生强调说不能因为从图中看起来一个角像直角，就认定它就是直角。
面谈者：你让他们不要从图示就假定垂直。我的意思是，你为什么说这是重要的？(https://www.daowen.com)
刘老师：是这样，因为有时事情并不像它们从表面所显示的一样。所以在你判定某事前，你必须有背后的事实，或者是有已知的信息，或者是实际的度量。
面谈者：你是说这是学生们容易犯的一个错误吗？
刘老师：他们会看着一个好像直角的图立刻就……
面谈者：你怎样知道呢？你为何知道学生会犯这样的……
刘老师：过去的教学经验。他们总是喜欢假定一些事实。
刘老师指出了有关该概念在语言上的一个微妙的差别，即他告诉学生应该说垂直线形成一个直角，而不是垂直线等于90度，说明他很清楚这是学生容易犯的一个错误。
面谈者：我也注意到当你在介绍垂直的定义时，你强调了当两条线段，或是直线，或是任何其他的东西相互垂直时，它们就形成了直角。你为何强调这一点呢？
刘老师：因为在我们讨论这些时他们理解起来是有困难的。即使是今天，要是你再听课，你会发现有人还是说垂直线段等于90度。所以我想，很重要的是我要说明它们不等于90度，而是他们形成的角是直角。
4．通过对教学效果的反思，调整教材内容的顺序
案例4：
王老师向学生介绍的新内容是四个“基本求导法则”，书中该节课的另一个内容是关于“变化率”，对此部分这位教师并没有按照教科书所编排的顺序教，而是在被听课之前就已经教过了。在面谈中她对自己如何获得这种想法作了说明。
面谈者：我发现“变化率”在课本中是后来才介绍的，而你早就教了。你为什么这样处理呢？
王老师：是的，这是因为导数是一个有关变化率的量。我不希望我的学生只是机械地处理问题。我希望他们能够理解它的实际含义。所以我想结合有关的几何去处理力学。我试图将力学和几何结合在一起。如果你准备从几何的角度讲解导数，你就必须提到直线的斜率，所以在逻辑上它们可以放在一起。我想你可以说我总是试着在课本真正讲到之前就开始引入有关的思想。
面谈者：为什么你会知道这些？
王老师：我想还是经验和反思。我的意思是，我以前就教过这个内容了。当接触到某些内容时，我会对自己说，我为什么不在以前讲这个呢？它会使问题变得简单得多。所以下一次，我就会做，我就按那种方法做。
面谈者：所以第一次你可能……
王老师：我可能不喜欢我第一次所做的这种方法。有时我确实喜欢我第一次所做的方法。我的意思是，我总是思考这个。我并不只是按照书本所采用的方法行事。我不会因为书本是这么处理的就照本宣科。我会看书本。我会判断是否喜欢这本书。如果我真的喜欢这本书，我就会用它。如果我不喜欢，那我就会尝试寻找一种更好的方式去处理。