椭圆与双曲线学习过程中的相互迁移
卢君艳
回顾这些年的教学经历,常常听到学生反映:“圆锥曲线的高考题太难了,平时就算能听懂课,也不会解题”。在应试教育下,高考这根指挥棒发挥出巨大的作用,作为一名一线的高中数学教师,对于目前高中数学教与学中存在的这一矛盾也深感苦恼。为了探索解决问题的办法,使学生在高中阶段具备进一步学习所必需的代数、几何基础知识以及概率统计和微积分的基本能力,并形成基本技能,进一步培养学生的思维能力、运算能力、空间想象能力、解决实际问题的能力和创新意识。本文尝试运用在北京师范大学培训时所学习的“数学教育心理学”的相关知识,从学生的角度出发,分析问题的原因所在,以期待改进教学方法,提高教学效果。
“圆锥曲线与方程”是人民教育出版社出版,普通高中课程标准实验教科书《数学》选修1-1(A)版第二章的内容,其中:“椭圆”是第一节内容;“双曲线”是第二节内容;“抛物线”是第三节内容。学生在学习椭圆和双曲线时,教师可能会更多地关注学生在学习中普遍存在的问题,虽然这些问题是导致学生学习困难的因素之一,但我觉得,因为这些问题在学生中比较普遍,也可以认为是他们学习这部分知识时所表现出的一种共性。归纳起来主要有以下几点:
①对椭圆的第一定义记忆太深刻,甚至有些机械化,以至于对后面将要讲的双曲线第一定义记忆不清,容易忘记“绝对值”的作用,或者说对双曲线“一支”还是“两支”深感困惑。
②在推导椭圆的标准方程时,因为用到二次平方,虽然没有任何技巧性,但因为运算量大,学生感觉难度很大,将近有超过一半的学生自己当堂无法推导出结果。
③对教材中最后要求的标准形式有些困惑,因为二次平方后出现的是整式形式,这应该说是比较好的形式了,为什么还要画蛇添足,写成分式的形式呢?
④研究椭圆的几何性质时,学生会感觉发现容易,结论漂亮,但记忆困难,变化多端,运用时想不起来,就是想起来了,也不知道该用哪一条性质,不能灵活应用。
⑤在学了双曲线之后,学生能发现椭圆与双曲线之间的关系比较密切,有关椭圆和双曲线的计算问题在解决过程中也有类似之处,但普遍感觉双曲线比椭圆难度大很多。
下面借助数学教育心理学的有关知识来尝试分析一下以上问题产生的原因。
首先,有关椭圆的第一定义与双曲线的第一定义
“定义”属于概念的教学,“数学教育心理学”中有关“概念”的理解是:概念是指哲学、逻辑学、心理学等许多学科的研究对象。概念通常包括四个方面:概念的名称、定义、例子和属性。由于数学的研究对象是事物的数量关系和空间形式,而这种关系和形式脱离了事物的具体属性,因此,数学概念有与此相对应的特点。学生的认知结构处于发展过程之中,他们的数学认知结构比较具体而简单、数学知识比较贫乏,在学习新的数学知识时,作为“固着点”的已有知识往往很少或者不具备。
比如,学生在初中学习过圆的定义是“平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹”,此时涉及的定点只有一个,定长就是所谓的“半径”。而椭圆和双曲线的第一定义中涉及的定点有两个,并且还有“距离之和”与“距离之差的绝对值”的问题。由圆的图形容易联想到椭圆,但双曲线就比较困难。虽然初中学习过反比例函数,但这个内容也是难点,不太容易和双曲线联系起来。其实,这就是所谓的“经验”,它是概念学习的影响因素之一。
在概念的学习中,“经验”的作用很大。有的学生能够从过去的经验中找出与新概念相关的概念,在比较它们异同的基础上建立起新的概念,而有的学生则会受到这种经验的干扰,产生错误的概念理解。于是,先入为主的椭圆概念里“到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹”中,没有“绝对值”的问题,也没有“上半圆”或“下半圆”“左半圆”或“右半圆”的问题。所以在之后的双曲线概念里“到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹”中,对“绝对值”的理解不到位,从而容易忽略双曲线“一支”还是“两支”的问题。
其次,有关二次平方法化简方程
在推导椭圆和双曲线的标准方程时,“化简”是必须要过的一关,在这一过程中,用到“二次平方法”以达到去除根号的目的。这种方法应该是高中学生必备的一种数学技能。
数学技能是从数学知识掌握到数学能力形成和发展的中心环节,它分为“智慧技能”和“动作技能”,而“运算技能”是指能正确运用各种概念、公式、法则进行数学运算,做代数变换等。在此过程中正确运用“数学符号语言”也是必不可少的。在数学学习过程中,数学技能的形成非常重要,数学技能以数学知识的学习为载体,通过实际操作获得动作经验而逐渐形成。
根据学生的学习经历,以往接触比较多的是一次方程,比较复杂的二次函数也只是在一个字母中出现了二次方。但椭圆的方程中,x、y的次数都是二次,从形式上看就比较难,学生在心理接受程度上难度大。加之,学生虽然会用平方法去根式,但局限在一次平方,像这样的二次平方法不太适应,甚至怀疑自己做错了。另外,对于生源相对来说比较好的学校,教师在授课时对学生的基础和能力估计过高也是一个不容忽视的因素。
最后,椭圆与双曲线的相关性质
在教学中我发现,因为椭圆和双曲线的第一定义、第二定义都有类似的部分,学生已经能够感觉到二者的几何性质应该也有相似的地方。我也试图用椭圆的几何性质引导学生类比得出双曲线的相关性质,引导学生的思维自发的“迁移”,但那些比较简单的、一般的性质学生可以自行推出。比如,椭圆中的特殊三角形、椭圆的焦半径、椭圆的通径等。而对于稍微复杂一些的性质,学生就有些束手无策了。
通过数学教育心理学的学习,我发现数学学习的迁移不是自动发生的,它受制于许多因素,其中最主要的有数学学习材料的因素、数学活动经验的概括水平以及数学学习定势。
①数学学习材料的因素
迁移需要对新旧学习中的经验进行分析、抽象,概括其中共同的经验成分才能实现,因此,数学学习材料在客观上要有相似性。心理学的研究表明,相似程度的大小决定着迁移效果和范围的大小。
例如,椭圆和双曲线的定义中都有两个定点和一个定长,由这些条件推导出的有关椭圆特殊三角形和焦半径公式的相关性质,学生就比较容易类推到双曲线的,还有可能在焦半径的公式中发现:椭圆的焦半径公式只有一个,而双曲线要根据具体情况(左、右支;上、下支)区别对待。
又如,椭圆的几何性质中有一条是:设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点,A为椭圆长轴上一个顶点,连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点, 则MF⊥NF;这条性质从叙述上比较长,学生可能直觉上认为推不出双曲线的类似性质。实际上,只要教师给学生一些勇气,鼓励他们大胆猜想,容易得出:设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点,A为双曲线长轴上一个顶点,连结AP和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点,则MF⊥NF。可以说,椭圆和双曲线的这条性质相似程度极高。
②数学活动经验的概括水平
数学学习的迁移是一种学习中习得的数学活动经验对另一种学习的影响,也就是已有经验的具体化与新课题的类化过程或新、旧经验的协调过程。因此,概括水平越低,迁移范围越小,效果越差;反之,迁移的可能性就越大,效果也越好。
例如,探究椭圆的几何性质中有一条是:以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离;学生类比这条性质,可以得到双曲线以焦点弦PQ为直径的圆可能必与对应准线存在着某种关系。而圆与直线的位置关系不外乎有三种:相交、相离、相切。判断圆与直线的位置关系有两种常用的方法:一种是用点到直线的距离判断;另一种是用方程的根的情况判断。这些知识和技能学生是具备的,因此不难得出双曲线的相关性质,即:以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交。
又如,椭圆还有一个几何性质是:以焦点半径为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切;双曲线和前一条性质类似的有:以焦点半径为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切。值得一提的是,学生能注意到将“长轴”换成“实轴”,但在“内切”还是“外切”的问题上可能需要认真分析。由于有了前一条关于焦半径公式的经验,相信学生还是可以推出内切时点在右支;外切时点在左支。
③数学学习定势
定势现象是一种预备性反应或反应的准备,它是在连续活动中发生的。在活动过程中,先前活动经验为后面的活动形成一种准备状态。它使学生倾向于在学习时以一种特定的方式进行反应。由于定势是关于选择活动方向的一种倾向性,因此对迁移来说,定势的影响既可以起促进作用也可以起阻碍作用。
例如,在椭圆的概念中说的是到两定点的距离之和为定长的点的轨迹,而双曲线则是到两定点的距离之差的绝对值为定长的点的轨迹。由于思维定势,容易把“绝对值”忘掉,从而丢失一支。
通过以上的分析我认为,椭圆和双曲线的相关知识有许多共同的切入点,根据学生的学习特点,要抓准这些相似点,教师除了丰富的教学经验外,如果还能运用一定的心理学知识,找到学生学习时的心理活动,可能会带来更好的教学效果。
在全国推进素质教育的今天,在新一轮国家基础教育课程改革实施之际,只关注教师“如何教”的问题显然已经远远不够,于是,对新的教材与学生新的学习方式的研究与探讨就显得十分迫切与必要。只有充分发挥数学教育的功能,全面提高年轻一代的数学素养,每一位数学教师才能为提高全民族素质,造就一代高质量的新型人才贡献自己的一份力量。
参考文献
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[2]朱文芳.中学生数学学习心理学[M].杭州:浙江教育出版社,2005.
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