当高阶线性电路求解时域响应时，常常应用拉氏变换分析问题，在应用中首先要将时域中的参量变换为复频域中的参量，然后求得用象函数表示的解，最后，还需要将所求结果的象函数进行拉氏反变换，以求得时域中的解。

拉普拉斯反变换的定义式为

计算这一积分要用到复变函数的积分，计算较为烦琐，因而在工程上一般不用此公式。实际上，对于线性集总参数电路，其元件值是常数，因此，其未知电压和电流的s 域表达式也是s的有理函数，如果能求出s的有理函数的反变换，就可以求出电流和电压的时域表达式，以下将介绍一种简单而又系统的求有理函数反变换的方法——部分分式展开法，用部分分式展开法处理，变为表9-1 所列的形式，根据对应关系求拉氏反变换。

电路响应的象函数通常可以表示为一个s的有理分式，即

式中m 和n 为正整数，且n≥m。

用部分分式展开有理分式F（s）时，需要将有理分式化为真分式，若n >m，则F（s）为真分式，若n＝m，则F（s）可写为

式中，A 是常数，其对应的时间函数为Aδ（t），余数项是真分式。

用部分分式展开真分式时，要对分母多项式D（s）作因式分解，求出D（s）＝0的根，D（s）＝0的根可能是单根、共轭复根和重根，以下分别介绍这3 种情况的部分分式反变换。

1.单根

如果D（s）＝0 有n 个单根，设这n 个单根分别是p1，p2，…，pn，那么F（s）可以展开为

式中K1，K2，…，Kn是待定系数。

将式（9-15）两边都乘以（s－p1），得

令s＝p1，则等式除第一项外都变为零，这样求得

同理可求得其他系数。所以确定式（9-13）中各待定系数的公式为

因为pi是D（s）＝0的一个根，故关于Ki的式（9-16）为型不定式，可以用求极限的方法确定Ki的值，即

所以确定式（9-16）中各待定系数的另一公式为

确定了式（9-15）中各待定系数后，相应的原函数为

【例9-10】　求的原函数f（t）。

解：由D（s）＝s3＋5s2＋6s＝s（s＋2）（s＋3）＝0，可求出D（s）＝0的根为

则F（s）可分解为

方法一：

根据式（9-16）有

方法二：

根据式（9-17）有

故原函数为

2.共轭复根

如果D（s）＝0 具有共轭复根p1＝α＋jω，p2＝α－jω，则

由于F（s）是实系数多项式之比，所以K1、K2为共轭复数。

设K1＝｜K1｜ejθ1，则K2＝｜K1｜e－jθ1，有

式（9-18）的结果应用到了欧拉公式。

【例9-11】　求的原函数f（t）。

解：方法一：

D（s）＝s2＋2s＋5＝0的根为共轭复根，分别为p1＝－1＋j2，p2＝－1－j2。

根据式（9-18）可得

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方法二：

此象函数可以分解为

根据表9-1 中三角函数与象函数的对应关系以及复频域平移特性式（9-9）可得

3.重根

如果D（s）＝0 具有n 重根，则应含（s－p1）n的因式。先假设D（s）中含有（s－p1）3的因式，p1为D（s）＝0的三重根，其余为单根，F（s）可分解为

对于单根的系数确定仍采用式（9-17）计算。

将式（9-19）两边都乘以（s－p1）3，则K11被单独分离出来，即

则

再对式（9-20）两边对s 求导一次，K12被分离出来，即

所以

用同样方法可求得

从以上分析过程可以推广到当D（s）＝0 具有q 阶重根，其余为单根的分解式为

式中

如果D（s）＝0 具有多个重根时，对每个重根分别应用上述方法即可得到相应系数。

【例9-12】　求的原函数f（t）。

解：D（s）＝s3（s＋3）2＝0的特征根p1＝0 为三重根，p2＝－3 为二重根。F（s）可分解为

所以

相应的原函数为

【例9-13】　用拉氏变换法解下述微分方程。

解：（1）对微分方程两边取拉氏变换，得

代入初始条件并整理得

进行拉氏反变换得

（2）对微分方程两边取拉氏变换，得

代入初始条件并整理得

进行拉氏反变换得

（3）对微分方程两边取拉氏变换，得

代入初始条件并整理得

进行拉氏反变换得