1．用比较判别法判断下列级数的敛散性．
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
解 （1）因为
，而
发散，由比较判别法知原级数发散．
（2）由于
，而
发散，由比较判别法知原级数发散．
（3）由于
，而
收敛，由比较判别法知原级数收敛．
（4）由于
，而
收敛，由比较判别法知原级数收敛．
（5）由于
，而
在A＞1收敛，0＜A≤1发散，所以原级数在A＞1收敛，0＜A≤1发散．
（6）由于
，而
收敛，由比较判别法知原级数收敛．
（7）由于
，而
在P＞1时收敛，在P≤1时发散，由比较判别法知原级数在P＞1时收敛，在P≤1时发散．
（8）由于
，由比较判别法原级数收敛．
2．用比值判别法判断下列级数的敛散性．
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
解 （1）由于
，所以级数发散．
（2）由于
，所以级数收敛．
（3）由于
，所以级数收敛．
（4）由于
，所以级数收敛．(https://www.daowen.com)
（5）由于
，所以级数收敛．
（6）由于
，所以级数收敛．
（7）由于
，所以级数收敛．
（8）由于
，所以级数收敛．
3．用根值判别法判断下列级数的敛散性．
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
，其中AN→A（N→∞），AN，B，A均为正数
解 （1）由于
，所以级数收敛．
（2）由于
，所以级数发散．
（3）由于
，所以级数收敛．
（4）由于
，所以级数收敛．
（5）由于
，所以级数收敛．
（6）由于
，所以当B＞A时级数发散，当B＜A时级数收敛，A＝B时，级数敛散性不定，不能用根值法判别．
4．设AN≤CN≤BN，（N＝1，2，…），且
及
都收敛，证明级数
收敛．
证 因为AN≤CN≤BN，所以BN-AN≥BN-CN＞0，而
及
都收敛，所以级数
收敛，由比较判别法知
收敛，所以级数
收敛．
5．若
及
都收敛，证明下列级数都收敛．
（1）
（2）
（3）
证（1）因为A2N+B2N≥2｜AB｜，
及
都收敛，
收敛，由比较判别法知
收敛．
（2）因为
收敛，所以
收敛，又由
及
都收敛，故
收敛．
（3）因为
收敛，当
时，即
也收敛．
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