微积分典型习题解法-微积分典型例题与解法

1．求下列函数的偏导数．

（1）设ｚ＝e^ｕSINｖ，而ｕ＝×ｙ，ｖ＝×+ｙ，求和；

（2）设ｕ＝f（×，ｙ，ｚ）＝e^{×2+ｙ2+ｚ2}，而ｚ＝ײSINｙ，求和；

（3）设ｚ＝ｕ^ｖ，而ｕ＝×+2ｙ，ｖ＝×-ｙ，求和；

（4）设ｕ＝f（ײ-ｙ²，e^×ｙ），求和；

（5）设，求，和．

解 （1）

（2）

（3）

（4）

（5）

2．设ｚ＝f（×ｙ，ײ+ｙ²），其中f具有二阶连续偏导数，求，．

解 令S＝×ｙ，ｔ＝ײ+ｙ²，则ｚ＝f（×ｙ，ײ+ｙ²），S和ｔ是中间变量．，

因为f（S，ｔ）是S和ｔ的函数，所以f′₁和f₂′也是S和ｔ的函数，从而f′₁和f₂′是以S和ｔ为中间变量的×和ｙ的函数．故

3．设ｚ＝×ｙ+×f（ｕ），而，f（ｕ）为可导函数，证明

证

4．设ｚ＝f［e^×ｙ，CoS（×ｙ）］，f为可导函数，证明

证 令S＝e^×ｙ，ｔ＝CoS（×ｙ），则

所以有

5．设f（×，ｙ）＝f［×+g（ｙ）］，其中f具有二阶导数，g具有一阶导数，证明

证 令S＝×+g（ｙ），则有

而所以有．(https://www.daowen.com)

6．求下列方程所确定的隐函数的导数或偏导数．

（1）设，求；

（2）设e^ｚ-×ｙｚ＝0，求，；

（3）设×+ｙ-ｚ＝×e^ｚ-ｙ-×，求，；

（4）设，求，．ｙ

解 （1）设，则

（2）设f（×，ｙ，ｚ）＝e^ｚ-×ｙｚ，则f_×＝-ｙｚ，f_ｚ＝e^ｚ-×ｙ，f_ｙ＝-×ｚ，

于是，

（3）f（×，ｙ，ｚ）＝×e^ｚ-ｙ-×-（×+ｙ-ｚ），则

f_×＝e^ｚ-ｙ-×_-×eｚ-ｙ-×-1，f_ｙ＝-×e^ｚ-ｙ-×-1，f_ｚ＝×e^ｚ-ｙ-×+1

于是

（4）令，则，f，

于是

7．设ｕ＝f（×，ｙ，ｚ）有连续的偏导数，ｙ＝ｙ（×）和ｚ＝ｚ（×）分别由e^×ｙ-ｙ＝0和e^ｚ-×ｚ＝0所确定，求．

解 令f（×，ｙ）＝e^×ｙ-ｙ，则f_×＝ｙe^×ｙ，f_ｙ＝×e^×ｙ-1，

令g（×，ｚ）＝e^ｚ-×ｚ，则g_×＝-ｚ，g_ｚ＝e^ｚ-×，

所以

8．设f（ｕ，ｖ）具有连续偏导数，证明由方程f（C×-Aｚ，Cｙ-Bｚ）＝0所确定的函数ｚ＝f（×，ｙ）满足．

证 令ｕ＝C×-Aｚ，ｖ＝Cｙ-Bｚ，则

于是