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微积分中的极限不存在的证明与计算方法

更新时间：2025-10-15 理论教育 版权反馈
【摘要】：解 由于，，故不存在，因此极限不存在.14.设×1＞0，，N＝1，2，…，A＞0，证：存在并求值.证 显然，N＝1，2，…

1.求极限.

（1）978-7-111-41532-9-Chapter01-391.jpg （2）978-7-111-41532-9-Chapter01-392.jpg （3）978-7-111-41532-9-Chapter01-393.jpg

（4）978-7-111-41532-9-Chapter01-394.jpg （5）978-7-111-41532-9-Chapter01-395.jpg （6）978-7-111-41532-9-Chapter01-396.jpg

解 （1）978-7-111-41532-9-Chapter01-397.jpg

（2）978-7-111-41532-9-Chapter01-398.jpg

（3）令ｔ＝AｒCｔAN ×，则

（4）978-7-111-41532-9-Chapter01-400.jpg＝1

（5）978-7-111-41532-9-Chapter01-401.jpg

2.求极限.

（1）978-7-111-41532-9-Chapter01-403.jpg （2）978-7-111-41532-9-Chapter01-404.jpg　（3）978-7-111-41532-9-Chapter01-405.jpg

（4）978-7-111-41532-9-Chapter01-406.jpg

解 （1）978-7-111-41532-9-Chapter01-407.jpg

（2）978-7-111-41532-9-Chapter01-408.jpg

（3）978-7-111-41532-9-Chapter01-409.jpg

（4）978-7-111-41532-9-Chapter01-411.jpg

3.设0＜×1＜1，N＝1，2，…，×N+1＝2×N-×2N，证明数列｛×N｝的极限存在，并求其极限.

证 由×N+1＝2×N-×2N可知，×2＝2×1-×21＝1-（1-×1）2，从而0＜×2＜1，由数学归纳法可知0＜×N＜1，即数列｛×N｝有界.

由×N+1＝2×N-×2N可知，×N+1＝×N（2-×N），再由0＜×1＜1得

×2＝×1（2-×1）＞×1由归纳法可知，数列｛×N｝是单调递增数列.由单调有界原理知，数列｛×N｝极限存在.由于数列｛×N｝极限存在，不妨设978-7-111-41532-9-Chapter01-412.jpg，故对等式×N+1＝2×N-×2N取极限，得A＝2A-A2，得A＝0，1，再由数列的递增性可知A＞×1＞0，从而得A＝1.

4.下列极限中正确的是（ ）.

A.978-7-111-41532-9-Chapter01-413.jpg　B.978-7-111-41532-9-Chapter01-414.jpg

C.978-7-111-41532-9-Chapter01-415.jpg D.978-7-111-41532-9-Chapter01-416.jpg

解 正确答案是B.因为由第一个重要极限978-7-111-41532-9-Chapter01-417.jpg可知，978-7-111-41532-9-Chapter01-418.jpg.

5.设978-7-111-41532-9-Chapter01-419.jpg，求f（×）.

解978-7-111-41532-9-Chapter01-420.jpg

所以f（×）＝e×+1.

6. 若978-7-111-41532-9-Chapter01-423.jpg，求A.

解978-7-111-41532-9-Chapter01-424.jpg

又由于978-7-111-41532-9-Chapter01-426.jpg，即e3A＝8，故A＝ｌN 2.

7.求极限978-7-111-41532-9-Chapter01-427.jpg.

解978-7-111-41532-9-Chapter01-428.jpg＝1

8.求极限978-7-111-41532-9-Chapter01-429.jpg.(https://www.daowen.com)

解 令ｕ（×）＝CoS ×+SIN2×，ｖ978-7-111-41532-9-Chapter01-430.jpg，则

故978-7-111-41532-9-Chapter01-432.jpg.

9.证明978-7-111-41532-9-Chapter01-433.jpg存在，并求其值.

解 由于

故

即

故由夹逼原理知978-7-111-41532-9-Chapter01-437.jpg.

10.求极限978-7-111-41532-9-Chapter01-438.jpg.

解978-7-111-41532-9-Chapter01-439.jpg

11.求极限978-7-111-41532-9-Chapter01-440.jpg).

解978-7-111-41532-9-Chapter01-441.jpg-0＝1

12.求极限978-7-111-41532-9-Chapter01-442.jpg.

解978-7-111-41532-9-Chapter01-443.jpg

13.极限978-7-111-41532-9-Chapter01-444.jpg存在吗？

解978-7-111-41532-9-Chapter01-445.jpg 由于978-7-111-41532-9-Chapter01-446.jpg，978-7-111-41532-9-Chapter01-447.jpg，故978-7-111-41532-9-Chapter01-448.jpg不存在，因此极限978-7-111-41532-9-Chapter01-449.jpg不存在.

14.设×1＞0，978-7-111-41532-9-Chapter01-450.jpg，N＝1，2，…，A＞0，证：978-7-111-41532-9-Chapter01-451.jpg存在并求值.

证 显然978-7-111-41532-9-Chapter01-452.jpg，N＝1，2，…，即×2N+1≥A，N＝1，2，…，从而978-7-111-41532-9-Chapter01-453.jpg，N＝2，3，…，因此数列｛×N｝是单调递减有下界0的数列，故978-7-111-41532-9-Chapter01-454.jpg存在.

不妨设978-7-111-41532-9-Chapter01-455.jpg，则由关系式978-7-111-41532-9-Chapter01-456.jpg，得978-7-111-41532-9-Chapter01-457.jpg，从而得到978-7-111-41532-9-Chapter01-458.jpgA.

15.求极限978-7-111-41532-9-Chapter01-459.jpg.

解978-7-111-41532-9-Chapter01-460.jpg

16.求极限978-7-111-41532-9-Chapter01-462.jpg.

解978-7-111-41532-9-Chapter01-463.jpg，又因为

故

因此978-7-111-41532-9-Chapter01-466.jpg不存在.

17.求极限978-7-111-41532-9-Chapter01-467.jpg.

解 令ｕ（×）＝1+e× SIN2×，978-7-111-41532-9-Chapter01-468.jpg，则

因此978-7-111-41532-9-Chapter01-470.jpg.

18.证明：978-7-111-41532-9-Chapter01-471.jpg.

证 由于978-7-111-41532-9-Chapter01-472.jpg，故978-7-111-41532-9-Chapter01-473.jpg.又由于

故978-7-111-41532-9-Chapter01-475.jpg.

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