微积分典型例题与解法-习题-导数、方程、极限问题

1．计算下列各导数．

（1） （2）

（3） （4）

解 （1）

（2）

（3）＝-SIN×CoS（πCoS²×）-CoS×CoS（πSIN²×）

（4）

2．设函数ｙ＝f（×）由方程所确定，求．

解 方程两边对自变量×求导，可得

e^ｙｙ′+CoS×＝0整理得．

3．设，，求．

解

4．求下列各极限．

（1） （2）

（3）

解 （1）

（2）

（3）

5．当×为何值时，函数有极值？

解 因为I′（×）＝×e^-×2，I′（×）＝0⇒×＝0，而I″（0）＝1≠0，

所以×＝0是函数I（×）的极小值点．

6．设f（×）在［0，+∞）上连续，若，求f（2）．

解 因为，所以有f（×）＝，故．

7．设f（×）为上连续函数，且存在常数A，满足求f（×）及常数A．

解 方程两边对×求导，可得5×⁴＝f（׳）·3ײ，，所以有f（×）＝．

所以A＝-1．

8．设，求f（×）．(https://www.daowen.com)

解 令，则有

所以，因此．

9．用牛顿—莱布尼兹公式计算下列定积分．

（1） （2）

（3） （4）

（5） （6）

解 （1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

10．设函数f（×）在区间［A，B］上连续，在（A，B）内可导，且f′（×）≤0，

证明在（A，B）内有f′（×）≤0．

证 因为f（×）在区间［A，B］上连续，由积分中值定理，至少存在一点ξ∈（A，×），使得，又因为在（A，B）内可导，且f′（×）≤0，有f（×）单调递减，故有f（ξ）≥f（×）．

11．设函数f（×）在［0，+∞）上可导，f（0）＝0，且其反函数为g（×），若，求f（×）．

解 因为，方程两边对×求导，可得g［f（×）］·f′（×）＝2×e^×+ײe^×，即f′（×）＝2e^×+×e^×．则而f（0）＝0，所以C＝-1．因此f（×）＝（1+×）e^×-1．

12．设函数f（×）在×＝A的某邻域内可导，且f（A）≠0，求极限．

解

13.设函数f（×）在×＝A的某邻域内可导，且f（A）≠0，求极限．

解 因为，令＝S，则有

所以有，所以．

14．设f（×）为连续函数，且

，求f（×）．

解　令，则有

即，解得，．即．