矩阵的初等变换、初等矩阵及矩阵等价

四 、矩阵的初等变换 、初等矩阵及矩阵等价

【主要内容】

1.矩阵的初等变换

矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行（列）变换：

（1）互换矩阵的两行（两列）.

（2）用一个非零常数c乘矩阵的某行（某列），即用c乘某行（某列）的每个元素.

（3）矩阵某行（某列）的k倍加到另一行（另一列），即某行（某列）的每个元素的k倍，加到另一行（另一列）的对应元素.

矩阵的初等行变换与初等列变换，总称矩阵的初等变换.

2.初等矩阵

单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵，称为初等矩阵.n阶初等矩阵有以下三类：

（1）

第i列 第j列（互换E_n的第i行（第i列）与第j行（第j列）后所得的n阶矩阵）.

（2）

第i列（非零常数c乘E_n的第i行（第i列）后所得的n阶矩阵）.

（3）

第i列 第j列（E_n的第j行的k倍加到第i行，或第i列的k倍加到第j列所得到的n阶矩阵）.

注 （ⅰ）矩阵A的一次初等行（列）变换所得的矩阵等于A左（右）乘一个相应的初等矩阵.例如互换m×n矩阵A的第i行（列）与第j行（列）后的矩阵为B，则

B=E_m（i，j）A（B=AE_n（i，j））；

（ⅱ）[E_n（i，j（k））]^T=E_n（j，i（k）），[E_n（i（k），j）]^T=E_n（j（k），i）.

3.矩阵等价

设矩阵B是矩阵A经过有限次初等变换后得到的矩阵，则称A与B等价，记为A↔B.

设A，B，C都是m×n矩阵，则

（1）A↔A.

（2）设A↔B，则B↔A.

（3）设A↔B，B↔C，则A↔C.

（4）设A↔B，则A等于B与若干个初等矩阵之积.

【典型例题】

例5.4.1 （单项选择题）设A是三阶矩阵，将A的第1列与第2列互换得矩阵B，再将B的第2列加到第3列得C，则满足AQ=C的矩阵Q=（ ）.

精解 Q应是题中所给的两个初等列变换所对应的初等矩阵之积，即

因此本题选D.

例5.4.2 设矩阵

，求矩阵PAQ

及APQ.

精解 P和Q都是三阶初等矩阵，所以可由初等变换直接算出PAQ及APQ.

PAQ是对A进行初等行变换（互换第1行与第2行）后，再进行初等列变换（将第3列的2倍加到第1列）而成的矩阵，所以

因此

APQ是对A进行初等列变换（互换第1列与第2列）后，再进行初等列变换（将第3列的2倍加到第1列）而成的矩阵，所以

因此

例5.4.3 设矩阵，求P¹⁰AP^m（其中，m是正整数）.

精解 P是初等矩阵，P¹⁰A即为对A施行10次互换第1行与第3行的初等行变换而成的矩阵，所以

P¹⁰A=A.因此，P¹⁰AP^m=AP^m是对A施行m次互换第1列与第3列的初等列变换而成的矩阵，所以，当m为正偶数时，AP^m=A；当m为正奇数时，从而