六、矩阵的秩
【主要内容】
1.矩阵秩的定义
设A是m×n矩阵，则称A的不为零的子行列式（简称子式）的最高阶数为A的秩，记为r（A），其中，A的k（k≤min{m，n}）阶子式是指A的k行k列交叉位置的元素构成的k阶行列式.
零矩阵的秩定义为0.
2.矩阵秩的性质
（1）设A是m×n矩阵，则0≤r（A）≤min{m，n}.
（2）设A是m×n矩阵，k是常数，则
（3）初等变换不改变矩阵的秩，即等价矩阵的秩相等.
（4）设A，B都是m×n矩阵，则r（A+B）≤r（A）+r（B）.
（5）设A，B分别是m×s，s×n矩阵，则r（A）+r（B）-s≤r（AB）≤min{r（A），r（B）}.
（6）设A是n阶矩阵，则A可逆的充分必要条件是r（A）=n.
（7）分块矩阵
的秩都为r（A）+r（B）.
3.矩阵秩的计算
通常，用以下的初等行变换方法计算矩阵的秩：
设A是m×n矩阵，经过一系列初等行变换后成为阶梯形矩阵B，则r（A）等于B中非零行的个数，其中，满足以下条件的矩阵称为阶梯形矩阵：
（1）元素全为零的行（称为零行）在矩阵的最下方.
（2）对于非零行，第i+1行的由左至右的第一个非零元素的列标必大于第i行由左至右的第一个非零元素的列标.例如
都是阶梯形矩阵.
【典型例题】
例5.6.1 （单项选择题）设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则（ ）.
A.当m>n时，|AB|≠0 B.当m>n时，|AB|=0
C.当m<n时，|AB|≠0 D.当m<n时，|AB|=0
精解 显然，AB是m阶矩阵.由r（AB）≤min{m，n}知，当m>n时有r（AB）≤n<m，即AB的秩小于它的阶数，所以|AB|=0.
因此本题选B.
例5.6.2 已知
，P为三阶非零矩阵，且PQ=O3，则（ ）.
A.t=6时，P的秩必为1 B.t=6时，P的秩必为2
C.t≠6时，P的秩必为1 D.t≠6时，P的秩必为2
精解 当t≠6时，由
知r（Q）=2.
此外，由PQ=O3知r（P）+r（Q）-3≤r（PQ）=0，即0<r（P）≤1（利用P是非零矩阵和r（Q）=2）.由此得到r（P）=1.
因此本题选C.
例5.6.3 求矩阵A的秩，其中
精解 利用初等行变换法计算A的秩.
所以，当λ-3=0，即λ=3时，由
知r（A）=2.此外，当λ≠3时，由
知 r（A）=3（这是因为
例5.6.4 设矩阵
的秩为3，求a，b的取值范围.
精解 用初等行变换法将A化为阶梯形矩阵，然后根据r（A）=3，确定a，b的值.
于是，由r（A）=3知，a，b应满足
或
所以，取值范围是a≠1且b=2，或a=1且b≠2.
例5.6.5 设A，B都是n阶矩阵，且ABA=B-1.证明：
r（En+AB）+r（En-AB）=n.
精解 利用矩阵秩的性质证明
r（En+AB）+r（En-AB）≤n和r（En+AB）+r（En-AB）≥n同时成立即可.
由ABA=B-1得ABAB=En，所以
（En+AB）（En-AB）=En+AB-AB-ABAB=On.从而有
r（En+AB）+r（En-AB）-n≤r（（En+AB）（En-AB））=0，即r（En+AB）+r（En-AB）≤n.（1）
此外，r（En+AB）+r（En-AB）≥r（（En+AB）+（En-AB））=r（2En）=n，即r（En+AB）+r（En-AB）≥n.（2）
由式（1）和式（2）得
r（En+AB）+r（En-AB）=n.