伴随矩阵与矩阵求逆运算

五 、伴随矩阵与矩阵求逆运算

【主要内容】

1.伴随矩阵

设A是n阶矩阵，则称

为A的伴随矩阵，其中，A_ij是|A|的元素a_ij的代数余子式（i，j=1，2，…，n）.

伴随矩阵的性质：设A，B都是n阶矩阵，则

（1）A^∗A=AA^∗=|A|E_n；

（2）|A^∗|=|A|^n-1（n>1）；

（3）（λA）^∗=λ^n-1A^∗（其中，λ是常数）；

（4）（A^T）^∗=（A^∗）^T；

（5）（AB）^∗=B^∗A^∗；

（6）设M₁，M₂都是方阵，则

2.矩阵求逆运算

设A是n阶矩阵，如果存在n阶矩阵B，使得AB=BA=E_n，则称A是可逆矩阵（简称A可逆），B是A的逆矩阵.由于A的逆矩阵是唯一的，记为A^-1.由矩阵A产生矩阵A^-1的运算，称为矩阵的求逆运算，简称求逆.

可逆矩阵的性质：设A，B都是n阶矩阵，则

（1）A可逆的充分必要条件为|A|≠0.

（2）如果A可逆，则A^-1也可逆，且（A^-1）^-1=A.

（3）如果A可逆，常数λ≠0，则λA可逆，且

（4）如果A，B都可逆，则AB可逆，且（AB）-1=B^-1A^-1.

（5）如果A可逆，则A^T可逆，且（A^T）^-1=（A^-1）^T.

（6）如果A可逆，则

（7）如果A可逆，则A↔En.

（8）如果A可逆，则A^∗可逆且（

（9）当M₁，M₂可逆时有

（10）初等矩阵是可逆矩阵，且

[E_n（i，j（k））]^-1=E_n（i，j（-k）），[E_n（i（k），j）]^-1=E_n（i（-k），j）.

3.求逆方法

（1）伴随矩阵法

设A是可逆矩阵，则

（2）初等变换法

设A是n阶矩阵，如果对矩阵（A︙E_n）施行一系列初等行变换成为（E_n︙B），则A^-1=B.

【典型例题】

例5.5.1 设A是n阶矩阵，a是非零常数.记B是A的第i行的每个元素都乘以a后的矩阵，试用A∗表示B∗.

精解 利用伴随矩阵性质求解.

由题设知 B=E_n（i（a））A，所以

即B∗是矩阵A∗的除第i列外，每个元素都乘以a的矩阵.

例5.5.2 （单项选择题）设矩阵

其中，A可逆，则B^-1=（ ）.

A.A^-1P₁P₂ B.P₁A^-1P₂ C.P₁P₂A^-1 D.P₂A^-1P₁

精解 互换A的第2列与第3列后再互换第1列与第4列得到B，所以B=AP₂P₁，从而由可逆矩阵性质得

B^-1=（AP₂P₁）-1=P₁^-1P₂^-1A^-1=P₁P₂A^-1.

因此本题选C.

例5.5.3 （单项选择题）设A是n（n≥2）阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得到矩阵B，且A∗，B∗分别为A，B的伴随矩阵，则（ ）.

A.交换A∗的第1、2列得到B∗

B.交换A∗的第1、2行得到B∗

C.交换A∗的第1、2列得到-B∗

D.交换A∗的第1、2行得到-B∗

精解 通过确定B∗的关于A∗的表达式得到正确的选项.

由 B=E_n（1，2）A 得

B^∗=[E_n（1，2）A]^∗=A^∗[E_n（1，2）]^∗=A^∗·|E_n（1，2）|[E_n（1，2）]^-1

=A^∗·（-1）E_n（1，2）（由于|E_n（1，2）|=-1，[E_n（1，2）]^-1=E_n（1，2））

=-A^∗E_n（1，2），

即A^∗E_n（1，2）=-B∗，

因此本题选C.

例5.5.4 设四阶矩阵

求[（E₄-C^-1B）TC^T]^-1.

精解 先利用转置矩阵与可逆矩阵的有关性质化简矩阵式（E₄-C^-1B）TC^T，然后再计算它的逆矩阵.由于

所以

可以利用初等变换法计算上述矩阵的逆矩阵：由于

所以，

例5.5.5 设三阶矩阵

，求行列式的值，其中，A∗是

A的伴随矩阵.

精解 先化简矩阵，然后计算它的行列式.

容易算出|A|=2.由于

所以，

例5.5.6 已知n阶矩阵A=（a_ij），B=（b_ij）都可逆，且

证明：矩阵B-E_n可逆，并求（B-E_n）-1.

精解 只要证明存在n阶矩阵C，使得C（B-E_n）=E_n即可.

由题设得2B=A-AB，即2（B-E_n）+A（B-E_n）=-2En.

由此得到因此B-E_n可逆，且

注 当M是n阶矩阵时，欲证其可逆，只要证明存在矩阵P使

PM=E_n或MP=E_n即可.