向量组的线性相关性
【主要内容】
1.向量的线性表示
设α1，α2，…，αm，β都是n维向量，如果存在数λ1，λ2，…，λm，使得
β=λ1α1+λ2α2+…+λmαm，则称β可由向量组α1，α2，…，αm线性表示（或线性表出）.
设向量组α1，α2，…，αs的每个向量都可由向量组β1，β2，…，βr线性表示，则称向量组α1，α2，…，αs可由向量组β1，β2，…，βr线性表示.
设向量组α1，α2，…，αs与向量组β1，β2，…，βr可以相互线性表示，则称向量组α1，α2，…，αs与向量组β1，β2，…，βr等价.
2.向量组的线性相关性
设有向量组α1，α2，…，αm，如果存在一组不全为零的数λ1，λ2，…，λm，使得
λ1α1+λ2α2+…+λmαm=0（与α1同维的零向量），（∗）则称向量组α1，α2，…，αm线性相关；否则称向量组α1，α2，…，αm线性无关，即仅当λ1=λ2=…=λm=0时式（∗）成立，称向量组α1，α2，…，αm线性无关.
关于向量组线性相关性的常用结论：
（1）向量组α1，α2，…，αm（m≥2）线性相关（线性无关）的充分必要条件为其中至少有一个向量（其中没有一个向量）可由其他m-1个向量线性表示.
向量α线性相关（线性无关）的充分必要条件是α=0（α≠0）.
（2）如果向量组α1，α2，…，αm线性无关，而向量组α1，α2，…，αm，β线性相关，则β可由α1，α2，…，αm线性表示，且表示法是唯一的.
（3）如果向量组中有部分组线性相关，则整个向量组线性相关；如果向量组线性无关，则它的任一部分组线性无关.
（4）记向量组α1，α2，…，αm的每个向量都删去若干个具有相同序号的分量后所成的向量组为β1，β2，…，βm，则当向量组α1，α2，…，αm线性相关时，β1，β2，…，βm线性相关；当β1，β2，…，βm线性无关时，α1，α2，…，αm线性无关.
（5）设α1，α2，…，αr与β1，β2，…，βs是两个向量组，如果α1，α2，…，αr可由向量组β1，β2，…，βs线性表示，且r>s，则α1，α2，…，αr线性相关；如果向量组α1，α2，…，αr可由β1，β2，…，βs线性表示，且α1，α2，…，αr线性无关，则r≤s.
（6）n+1个n维向量线性相关.
（7）含有零向量的向量组线性相关.
（8）n个n维向量线性相关（线性无关）的充分必要条件是以这n个向量为列向量（或行向量）构成的n阶矩阵的行列式为零（不为零）.
【典型例题】
例5.7.1 （单项选择题）已知向量组α1，α2，α3，α4线性无关，则向量组（ ）.
A.α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1线性无关
B.α1-α2，α2-α3，α3-α4，α4-α1线性无关
C.α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4-α1线性无关
D.α1+α2，α2+α3，α3-α4，α4-α1线性无关
精解 利用向量组线性相关性的定义，排除三个选项即得正确选项.
因为 （α1+α2）-（α2+α3）+（α3+α4）-（α4+α1）=0，
（α1-α2）+（α2-α3）+（α3-α4）+（α4-α1）=0，
（α1+α2）-（α2+α3）+（α3-α4）+（α4-α1）=0，所以，选项A，B，D中的向量组都是线性相关的.
因此本题选C.
例5.7.2 （单项选择题）设向量组α，β，γ线性无关，向量组α，β，δ线性相关，则（ ）.
A.α必可由β，γ，δ线性表示 B.β必不可由α，γ，δ线性表示
C.δ必可由α，β，γ线性表示 D.δ必不可由α，β，γ线性表示
精解 由α，β，δ线性相关，而α，β线性无关（α，β，γ线性无关必有α，β线性无关），所以δ可由α，β线性表示，记为
δ=k1α+k2β=k1α+k2β+0γ.
由此可知δ可由α，β，γ线性表示.
因此本题选C.
例5.7.3 （单项选择题）设向量β可由向量组α1，α2，…，αm线性表示，但不能由向量组（Ⅰ）：α1，α2，…，αm-1线性表示，记向量组（Ⅱ）：α1，α2，…，αm-1，β，则（ ）.
A.αm不能由（Ⅰ）线性表示，也不能由（Ⅱ）线性表示
B.αm不能由（Ⅰ）线性表示，但可由（Ⅱ）线性表示
C.αm可由（Ⅰ）线性表示，也可由（Ⅱ）线性表示
D.αm可由（Ⅰ）线性表示，但不能由（Ⅱ）线性表示
精解 先考虑αm可否由（Ⅰ）线性表示.用反证法.
如果αm可由（Ⅰ）线性表示，则由β可由向量组α1，α2，…，αm线性表示推得β可由α1，α2，…，αm-1线性表示，即可由（Ⅰ）线性表示.这与题设矛盾.因此，αm不能由（Ⅰ）线性表示.
再考虑αm可否由（Ⅱ）线性表示.
由于β可由α1，α2，…，αm线性表示，所以存在数k1，k2，…，km，使得
β=k1α1+k2α2+…+km-1αm-1+kmαm.（1）由于β不能由（Ⅰ）线性表示，所以km≠0.可是由式（1）得
即 αm可由（Ⅱ）线性表示.因此本题选B.
例5.7.4 已知向量组
α1=（1，2，3，3）T，α2=（-1，-4，1，1）T，α3=（3，5，4，t+2）T，α4=（-2，-8，2，t）T.
问t为何值时该向量组线性相关？
精解 由于所给的向量组是由4个4维向量组成的，所以以它们为列向量构成四阶矩阵
A=（α1，α2，α3，α4），然后令|A|=0即可解得所求的t值.显然，
于是，由|A|=0得t=2，即t=2时，α1，α2，α3，α4线性相关.
例5.7.5 设A是n阶矩阵，x是n维列向量，如果对某个正整数k有Ak-1x≠0，但Akx=0.证明：x，Ax，…，Ak-1x线性无关.
精解 用向量组线性无关定义证明.
假设存在数λ1，λ2，…，λk，使得
λ1x+λ2Ax+…+λkAk-1x=0.（1）用Ak-1左乘式（1）的两边得
λ1Ak-1x+λ2Akx+…+λkA2k-2x=0.
由题设Akx=0推得Ak+1x=…=A2k-2x=0，将它们代入上式得λ1Ak-1x=0.于是由Ak-1x≠0得λ1=0.将它代入式（1）得
λ2Ax+…+λkAk-1x=0.（2）用Ak-2左乘式（2）的两边得λ2Ak-1x+…+λkA2k-3x=0.由此推得λ2=0.同理可得λ3=…=λk=0，所以由向量组线性无关的定义知，x，Ax，…，Ak-1x线性无关.