练习题五

练习题五

1.单项选择题

（1）四阶行列式的值等于（ ）.

A.a₁a₂a₃a₄-b₁b₂b₃b₄ B.a₁a₂a₃a₄+b₁b₂b₃b₄

C.（a₁a₂-b₁b₂）（a₃a₄-b₃b₄） D.（a₂a₃-b₂b₃）（a₁a₄-b₁b₄）

（2）设α₁，α₂，α₃，β₁，β₂都是4维列向量，且四阶行列式|（α₁，α₂，α₃，β₁）|=m，|（α₁，α₂，β₂，α₃）|=n，则四阶行列式|（α₃，α₂，α₁，β₁+β₂）|=（ ）.

A.m+n B.-（m+n） C.n-m D.m-n

（3）设a，b，c是两两互不相等的实数，则

的充分必要条件是（ ）.

A.ab=0 B.a+b+c=0

C.a=1，b=-1，c=0 D.a²=b²，c=0

（4）设A，B，C都是n阶矩阵，如果AB=BA，AC=CA，则ABC=（ ）.

A.ACB B.CBA C.BCA D.CAB

（5）设n阶矩阵A满足（A-E_n）2=3（A+E_n）2，则以下4个结论中正确结论的个数是（ ）.

（ⅰ）A可逆；

（ⅱ）A+E_n可逆；

（ⅲ）A+2E_n可逆；

（ⅳ）A+3E_n可逆.

A.1 B.2 C.3 D.4

（6）设三阶矩阵如果A的伴随矩阵的秩为1，则必有（ ）.

A.a=b或a+2b=0 B.a=b或a+2b≠0

C.a≠b且a+2b=0 D.a≠b且a+2b≠0

（7）设A，P都是三阶矩阵，且若P=（α₁，α₂，α₃），Q=（α₁+α₂，α₂，α₃），则Q^TAQ=（ ）.

（8）设α为3维列向量，且，则α^Tα=（ ）.

A.B.C.3 D.-3

（9）设A是m×n矩阵，且m<n，则以下4个式子中正确的是（ ）.

A.|AA^T|=0 B.|AA^T|≠0 C.|A^TA|=0 D.|A^TA|≠0

（10）设A，B分别为m×n与n×m矩阵，且AB=E_m，则以下4个结论中正确的是（ ）.

A.r（A）=m，r（B）=m B.r（A）=m，r（B）=n

C.r（A）=n，r（B）=m D.r（A）=n，r（B）=n

（11）设A是三阶矩阵，将A的第2行加到第1行得到B，将B的第1列的-1倍加到第2列得到C.记，则（ ）.

A.C=P^-1AP B.C=PAP^-1 C.C=P^TAP D.C=PAP^T

（12）设A是n（n≥2）阶可逆矩阵，A∗是它的伴随矩阵，则（ ）.

A.（A∗）∗=|A|^n-1A B.（A∗）∗=|A|ⁿ⁺¹A

C.（A∗）∗=|A|^n-2A D.（A∗）∗=|A|ⁿ⁺²A

（13）设A，B都是n阶非零矩阵，且AB=O_n，则r（A），r（B）（ ）.

A.必有一个为零 B.都小于n

C.一个小于n，另一个等于n D.两个都等于n

（14）设α，β，γ₁，γ₂，γ₃都是4维列向量，矩阵A=（α，γ₁，γ₂，γ₃），B=（β，γ₁，γ₂，γ₃），则当|A|=3，|B|=2时，|A+B|=（ ）.

A.5 B.20 C.30 D.40

（15）设A是五阶矩阵，且|A|=3，则|2A^-1-A∗|=（ ）.

A.B.C.3 D.-3

（16）设n阶矩阵A，B，C满足关系式ABC=E_n，则有（ ）.

A.ACB=E_n B.CBA=E_n C.BAC=E_n D.BCA=En

（17）设A，B都是二阶矩阵，且|A|=2，|B|=3，则

A.B.

C.D.

（18）设A，B为满足AB=O的任意两个非零矩阵，则（ ）.

A.A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关

B.A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关

C.A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关

D.A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关

（19）设向量组α₁，α₂，α₃线性无关，向量β₁可由α₁，α₂，α₃线性表示，而向量β₂不能由α₁，α₂，α₃线性表示，则对任意常数k，必有（ ）.

A.α₁，α₂，α₃，kβ₁+β₂线性无关B.α₁，α₂，α₃，kβ₁+β₂线性相关

C.α₁，α₂，α₃，β₁+kβ₂线性无关D.α₁，α₂，α₃，β₁+kβ₂线性相关

（20）设α₁，α₂，…，α_s均为n维列向量，A是m×n矩阵，则（ ）.

A.若α₁，α₂，…，α_s线性相关，则Aα₁，Aα₂，…，Aα_s必线性相关

B.若α₁，α₂，…，α_s线性相关，则Aα₁，Aα₂，…，Aα_s必线性无关

C.若α₁，α₂，…，α_s线性无关，则Aα₁，Aα₂，…，Aα_s必线性相关

D.若α₁，α₂，…，α_s线性无关，则Aα₁，Aα₂，…，Aα_s必线性无关

（21）n维向量组α₁，α₂，…，α_s线性相关的充分必要条件是α₁，α₂，…，α_s中（ ）.

A.有一个零向量

B.任意两个向量的分量对应成比例

C.至少有一个向量是其余向量的线性组合

D.任意一个向量都是其余向量的线性组合

（22）设n阶矩阵A=（α₁，α₂，…，α_n），B=（β₁，β₂，…，β_n），AB=（γ₁，γ₂，…，γ_n），记向量组（Ⅰ）：α₁，α₂，…，α_n，（Ⅱ）：β₁，β₂，…，β_n，（Ⅲ）：γ₁，γ₂，…，γ_n.如果（Ⅲ）线性相关，则（ ）.

A.（Ⅰ）线性相关 B.（Ⅱ）线性相关

C.（Ⅰ）、（Ⅱ）都线性相关 D.（Ⅰ）、（Ⅱ）中至少有一个线性相关

（23）设向量β可由向量组α₁，α₂，…，α_m线性表示，但不能由向量组（Ⅰ）：α₁，α₂，…，α_m-1线性表示，记向量组（Ⅱ）：α₁，α₂，…，α_m，β，则（ ）.

A.α_m不能由（Ⅰ）线性表示，也不能由（Ⅱ）线性表示

B.α_m不能由（Ⅰ）线性表示，但可由（Ⅱ）线性表示

C.α_m可由（Ⅰ）线性表示，也可由（Ⅱ）线性表示

D.α_m可由（Ⅰ）线性表示，但不能由（Ⅱ）线性表示

（24）向量组α₁，α₂，…，α_s，则下列说法正确的是（ ）.

A.如果α_s不能用α₁，α₂，…，α_s-1线性表示，则α₁，α₂，…，α_s线性无关

B.如果α₁，α₂，…，α_s中任一部分组都线性无关，则α₁，α₂，…，α_s线性无关

C.如果α₁，α₂，…，α_s线性无关，则α₁+α₂，α₂+α₃，…，α_s-1+α_s，α_s+α₁线性无关

D.如果向量组α₁，α₂，…，α_s与向量组β₁，β₂，…，β_s-1等价，则α₁，α₂，…，α_s线性相关

（25）设向量组α₁=（1，-1，2，4）T，α₂=（0，3，1，2）T，α₃=（3，0，7，14）T，α₄=（1，-2，2，0）T，α₅=（2，1，5，10）T，则该向量组的一个极大线性无关组为（ ）.

A.α₁，α₂，α₃ B.α₁，α₂，α₄ C.α₁，α₂，α₅ D.α₁，α₂，α₄，α₅

（26）设m×n矩阵A的秩r（A）=m<n，则下列结论中正确的是（ ）.

A.A的任意m个列向量线性无关

B.A的任意m阶子行列式都不为零

C.如果矩阵B满足AB=O_m×s，则_n×s矩阵B=O_n×s

D.A经过若干次初等行变换可化为（E_m︙O_m×_（n-m））

（27）向量组α₁，α₂，…，α_s线性相关的充分条件是（ ）.

A.向量组β₁，β₂，…，β_s-1可由α₁，α₂，…，α_s线性表示

B.r（α₁，α₂，…，α_s，β₁，β₂，…，β_s-1）=r（β₁，β₂，…，β_s-1）

C.r（α₁，α₂，…，α_s）=r（α₁，α₂，…，α_s，β）

D.，其中，γ₁，γ₂，…，γ_s线性相关

（28）如果α₁，α₂，…，α_r是向量组α₁，α₂，…，α_r，…，α_n的一个极大线性无关组，则下列结论中不正确的是（ ）.

A.α_n可由α₁，α₂，…，α_r线性表示B.α₁可由α_r+1，α_r+2，…，α_n线性表示

C.α₁可由α₁，α₂，…，α_r线性表示D.α_n可由α_r+1，α_r+2，…，α_n线性表示

（29）设矩阵A=（α₁，α₂，…，α_n），其中，α₁，α₂，…，α_n都是m维列向量，在A中去掉第i列得到的矩阵记为B，则r（A）=r（B）是α_i可由B的列向量组线性表示的（ ）.

A.充分而非必要条件 B.必要而非充分条件

C.充分必要条件 D.既非充分又非必要条件

（30）设向量β₁=α-α₁，β₂=α-α₂，…，β_s=α-α_s，其中，α=α₁+α₂+…+α_s（s>1），则（ ）.

A.r（α₁，α₂，…，α_s）<r（β₁，β₂，…，β_s）

B.r（α₁，α₂，…，α_s）>r（β₁，β₂，…，β_s）

C.r（α₁，α₂，…，α_s）<r（α₁，α₂，…，α_s，β₁，β₂，…，β_s）

D.r（α₁，α₂，…，α_s）=r（α₁，α₂，…，α_s，β₁，β₂，…，β_s）

2.解答题

（1）计算n阶行列式（其中，a₁a₂…a_n≠0）.

（2）计算n+1阶行列式（其中，a₁a₂…a_n≠0）.

（3）已知三阶矩阵A的逆矩阵，求A的伴随矩阵A∗的逆矩阵.

（4）已知四阶矩阵A的伴随矩阵为

求满足ABA^-1=BA^-1+3E₄的四阶矩阵B.

（5）设五阶矩阵

求A可逆的充分必要条件及A可逆时的A^-1.

（6）设矩阵，矩阵B满足ABA∗=2BA∗+E₃，求|B|及B∗.

（7）设三阶矩阵，求Aⁿ-2A^n-1（n是大于1的整数）.

（8）已知n维向量α=（a，0，…，0，a）T（a<0），求矩阵A=E_n-αα^T为矩阵的逆矩阵时的a值.

（9）已知A，B都是三阶矩阵，且满足

2A^-1B=B-4E_3.

（ⅰ）证明：矩阵A-2E₃可逆；

（ⅱ）设，求A.

（10）已知A是三阶矩阵，其行列式，求行列式|（3A）-1-2A∗|.

（11）设A是4×3矩阵，且r（A）=2，而，求r（AB）.

（12）设，如果存在秩大于1的三阶矩阵B，使得AB=O₃，求

（ⅰ）常数a，b，c；

（ⅱ）A¹⁰.

（13）已知

，B是秩为2的三阶矩阵，且r（AB）=1，求λ的值.

（14）按λ，μ的取值讨论矩阵的秩r（A）.

（15）设A是n阶矩阵，满足A³=E_n，证明n阶矩阵B=E_n-2A-A²可逆，并求B^-1.

（16）设向量组α₁=（1，2，-1）^T，α₂=（-1，-2，1）^T，α₃=（1，2，3）^T，求该向量组的秩和所有极大线性无关组.

（17）已知向量组

（Ⅰ）α₁=（1，0，2）^T，α₂=（1，1，3）T，α₃=（1，-1，a+2）^T，

（Ⅱ）β₁=（1，2，a+3）^T，β₂=（2，1，a+6）^T，β₃=（2，1，a+4）^T.问a为何值时，（Ⅰ）与（Ⅱ）等价.

（18）将向量组α₁=（1，1，0，0），α₂=（0，1，0，0），α₃=（1，0，-1，1），α₄=（0，1，1，1）单位正交化.

（19）设A是n阶矩阵，α₁，α₂，…，α_s是n维列向量组，满足Aα₁=α₁，Aα_i=α_i-1+α_i（i=2，3，…，s）且α₁≠0.证明：α₁，α₂，…，α_s线性无关.

（20）设A，B分别是m×n与n×m矩阵，其中，n≤m.若AB=E_m.证明：B的列向量组线性无关.

（21）设α₁=（1，3，4）^T，α₂=（2，5，5）^T，β₁=（2，3，-1）^T，β₂=（-3，-4，

3）T，求所有既可由α₁，α₂线性表示，又可由β₁，β₂线性表示的3维非零列向量ξ.