数学的符号系统
现今的人们,已经习惯用字母x,y等代数未知量,并用各种极为简练的符号表示未知量和已知量之间的种种运算关系,从而构成了形式各异的代数式。两个代数式之间用“＝”号加以连结,就得到今天大家常见的方程。然而,发展到现有初中课本上看到的一切,是经历了一个相当漫长的岁月。
“＋”与“－”符号的使用,起于公元1489年。“×”号出现于16世纪初,“÷”号还要更晚些。作为方程标志的近代等号“＝”,则最早见于公元1557年雷科德(Recorde)的《智慧的磨刀石》一书。雷科德曾经极为风趣地说,他选择两条等长的平行线作为等号,是因为他们再相等不过了。
而用字母表示数,却是一个更为巨大的创造,它使更加深刻的代数理论成为可能。这个功绩要首推16世纪末法国数学大师弗朗西瓦·韦达(Viete,1540—1603年)。他是法学家和国王宫廷有名望的国务活动家。韦达把所有的空闲时间都花费在数学上,他专心于数学,有时解某个问题时,竟连续几个夜间不睡觉。他的主要著作是《分析法引论》,韦达在自己的数学著作中,除了改进代数符号以外,还发展了解方程的理论,在几何中扩大了应用代数的范围,开始在代数中使用三角,促进三角学的发展。韦达的主要功绩是把字母表示数的写法引入代数。重要的是,他不仅用字母表示未知量,而且还用字母表示数字系数。
尽管整个符号系统发展得如此缓慢,但无论是古代的希腊,还是东方的中国,人类都以其各自独有的文化,建树着一座座数学史上的丰碑。我们伟大的中华民族的祖先,曾在代数学上作出过令世人叹为观止的辉煌成就。英国剑桥大学李约瑟教授在《中国科学技术史》一书中称誉:“自远古以来,中国人在数学工作中一贯具有算术和代数的头脑。”但由于没有一套良好的符号系统,古代的欧洲和阿拉伯数学家,都为形如ax＋b＝0这样一个简单的一元一次方程困惑过。这似乎是不可思议的,因为在今天,这样的方程对于任何一个中学生都是不屑一顾的。然而古代数学家曾为此求助于一种较为烦琐的“试位法”。早在公元1世纪我国古代数学著作《九章算术》中,就曾使用过同样的方法,不过,书中用的是另一个名称,叫“盈不足”。由此可见,一个可靠而又简洁的符号系统对于数学的发展起着多么巨大的作用。
数学的符号的由来
文字是记录传递信息的符号,数学符号则是一种特殊的语言。十五世纪中期,欧洲文化开始复兴。当时的欧洲人所要求的,是实用的算术和代数,人们一边学习这些起源于阿拉伯与印度的学问,一边对它们加以包括使其符号完备在内改良。下面,我们择要列举其内容。
“＋、－”。外号叫做“计算之父”的德国人惠特曼,于1489年在“过于”、“不足”的意义上开始使用这两个符号,渐渐地,它们被分别用作加法和减法的符号。
“
”。这个符号以根号的意义首次出现于鲁道尔夫的著作《代数》(1525年)一书中。
“＝”。最先出现于瑞科德(1510年—1558年)《智慧的砥石》一书中。起初横向写得较长。瑞科德说:“把它用作等号的理由,是因为任何东西都不如等长的平行线这般相等。”
“＜、＞”。这两个不等号,最早使用于哈略特(1560年—1622年)的著作中。
“×”。这个乘法记号见于奥特列德(1574年—1660年)的著作。
“x、y、z”表示未知量,“a、b、c”、表示已知量。最早由彼埃特使用,后来笛卡儿(1596—1650年)对此作了改良,这种表示法沿用至今。
“sin,cos”这两个三角函数的符号是瑞士数学家欧拉最早使用的。
“dx,
,∫ydx”等等微积分符号是德国数学家莱布尼兹最早提出并使用的。
就中学数学而言,常见的数学符号也有100多个。简明而又精练的数学符号,不仅仅是深奥理论的源泉,也是一门重要的工具。为什么中国古代的数学领先,而近代逐渐落后了,原因之一就是没有使用简明而又精练的数学符号。