4.2.3 碰撞概率计算方法
空间目标碰撞风险分析中，碰撞概率的计算是基础之一。基于碰撞概率的轨迹安全分析方法采用碰撞概率作为碰撞危险程度的描述指标，碰撞概率定义为两个位置预报有误差的空间物体发生碰撞的概率。碰撞概率的计算需要用到航天器和空间目标在相遇时刻的位置、速度和位置协方差矩阵等信息。
1.碰撞概率
两个空间目标的碰撞概率是两个目标中心的距离小于等效半径之和的概率，可以表示为Pe=P（ρ＜R），两个目标间的距离ρ=|ρ|=|r1-r2|，r1和r2分别为两个目标的实际位置矢量，可以表示为两个目标的分布中心矢量加上随机误差矢量，即r1=r1o+e1，r2=r2o+e2。
由4.2.2节可知，当两个空间目标间的距离最近时，它们处在与相对速度矢量垂直的平面内，定义这个平面为相遇平面，这样就可以把两个物体的位置不确定性投影到相遇平面上，从而将三维问题化为二维问题。
在相遇平面上，碰撞概率密度函数f（x，z）和碰撞概率Pc的计算公式如下：
二维正态分布概率密度函数为
式中，
和
为联合误差在相遇平面坐标系上分量；μx和μz为两个目标间的相对距离在相遇平面坐标内的距离分量。
碰撞概率可以表示为二维正态分布概率密度函数在圆域内的积分：
影响碰撞概率计算结果的主要因素包括两个空间目标的尺寸、相对位置、相对速度和位置误差因素。
2.最大碰撞概率
理论和实际分析表明，对于一定的交会位置、速度、几何条件和目标大小，碰撞概率会随着位置误差不确定性的增大而先增大，在一定的位置误差条件下达到碰撞概率极大值，随后碰撞概率随着位置误差的增大而减小。在实际的工程应用中，最大碰撞概率的计算十分重要，因为一般情况下航天器和空间目标的实际位置误差协方差矩阵都是未知的，或者是只知道它们的误差椭球形状而不知具体的参数大小，就需要确定最坏情况下的碰撞概率大小。最大碰撞概率还可以用于空间目标的预筛选，当最大碰撞概率小于某个设定的阈值时，认为该空间目标不会对航天器构成威胁。
令
，并且定义量纲为1的变量：
碰撞概率可以化为无穷级数形式，取其第一项为Pc的近似：
通过令
可获得Pc的极大值，因此有
进而可解得
于是，当σ=σD时，Pc取得极大值Pcmax，即
