第6章

现在我们必须涉及这样一些事物。从房屋覆盖范围90开始，因为它是由两个向度所决定的：一个房屋覆盖范围可以是短浅的、宽广的或是适中大小的。91所有这些尺寸中其各个边长都相等，并且各个角也都是以直角相交的四边形是其中最短浅的。92在这个之外，就是三比二（sesquialtera）的情况，而另外一个短浅的覆盖范围是一又三分之一音。93因此，这三个我们称为“简单的”关系，都是应用于短浅的覆盖范围的。也有三个适用于覆盖范围为适中大小的关系，其中最重要的一个是二两倍的，接着是一个由两倍的三比二组合而成的关系。这后者是由如下方式组成的：先建立一个较小尺寸的覆盖范围——例如，四——确立起第一个三比二，将其长度定为六；在此之上再加上另外一个，令其长度为九。这样，这个长度是其宽度的两倍，又加一了个双重的音符。94另外一个适中的覆盖范围是双倍的一又三分之一音，是用完全相同的方式确立的；这产生了一个宽度为九和长度为十六的关系。因此，其长边是短边长度的两倍，再减去一个音符。95对于一个较为宽大的覆盖范围使用如下的方法：或是将一个双倍的方形被一个三比二所扩大而变成了一个三，或是双倍被一个一又三分之一音所扩大，因而使其比例为三比八；二者择一，所选择的尺寸应该是使其比例为一比四。

我们已经讨论了较为短浅的房屋覆盖范围，或是用相等的尺寸，或是用了一个比例，也就是说，二比三或三比四；我们也已经讨论了适中大小的房屋覆盖范围，在那些一个尺寸是另外一个尺寸的两倍的地方或是那些其比例是，比如说，四比九或九比十六。最后，我们提到了扩展的房屋覆盖范围，其比例为一比三，一比四，或，比如说，三比八。

当在三个向度上进行工作时，我们应该综合一般性的尺寸，比如，身体的尺寸，其数字本身自然就是和谐的，或某些从别的地方选择而来的某种确定的和真实的方法。天然就是和谐的数字包括那些从像双倍、三倍、四倍，等等比例情况下获得的比率。因为，一个双倍的比例，可以通过从一个单一数，再加上一个三比二，然后和一个一又三分之一音而构成，就如在下面的例子中一样：使尺寸较短一边的双倍为二；在此之上加一个三比二来产生一个三；在三上加上一个一又三分之一音，产生了一个四，它本身又是最初的二的两倍。

作为一种选择，令较短的尺寸为三；通过一个一又三分之一音将其扩大而产生四；加上一个三比二；因此，你有了六，这是最初的三的两倍。类似的情况，一个三倍的数，可以由一个双倍的数加上一个三比二而形成。令这里的这个较短的尺寸为二；将其两倍而变成四；在这个数上加一个三比二的比率而变成六，它就是最初之数二的三倍。作为选择它可以由如下方式产生。使较短的尺寸数为二，取其三比二的比率，使其变为三；然后，将这个三变为两倍：你现在有了六，这是较短尺寸的三倍。四倍的情况可以被一个类似的扩大方式而形成，通过加上一个三比二，然后再加一个一又三分之一音而达到两倍。这可以通过一个两倍的两倍来达到，如人们所知道的两倍的八度音，是以如下的方法。使较短的尺寸是二；将这个数两倍化来得到一个全协和音，它有一个四比二的比例；再将其两倍化，来产生一个两倍的八度音，它有一个八比二的比例。四倍也可以通过在两倍之上加上一个三比二和一个一又三分之一音而构成。如何达成这一点很快就能够变得很清楚。为了清楚起见，例如，取数字“二”；通过加上一个三比二的比，使其变成三，接着，又在此基础上加上一个一又三分之一音而变成四；然后，将这个四双倍化而产生八。作为选择，取数字“三”，通过将其双倍，你得到了六；再加上一半，你就有了九；在此基础上加上一个三分之一，产生了十二，这是较短尺寸三这个数的四倍。

我们所回顾的这些数字并不是被建筑师随便地和不加区别地使用的，而是按照一种谐和的关系所用的。例如，任何人希望以一个长度建造一个环绕某一房屋平面96的墙体，比如说，这一长度的两倍将不使用“三”的比例，而仅仅用由双倍来构成的数。同样的情况，在一个长度是宽度的三倍的房屋范围，同样的比例被用来形成三倍，同样的情况也出现在四倍时，在这里除了它自身的比例之外，没有其他的比例在被使用。因此，在三个向度中，无论什么数字最适合于建筑作品，其判断都是从上面所罗列的情况中得出来的。

在各个向度尺寸的建立中，有某些自然性的关系不能够像那些数字那样被确定，但是却可以从根和幂（roots and powers）中获得。97根是一个平方数的一方，它们的幂等于那个平方的覆盖范围。立方体是平方的一个凸起。一个最初的立方体，它的根是一，是被用来献给上帝的，因为一的立方仍然是一；更进一步，据说这是一个特别稳定的实体，它的每一个面都是同样可靠和稳固的。然而，如果这个“一”不是一个实际的数字，而是数字的源头，它既从其自身中导出，又被包含在其自身之中，或许我们可以将这两个数称为初数。以它作为根你产生了一个数字为“四”的覆盖范围，这个范围，如果向上凸出一个等于一侧的高度，就会形成一个数字为“八”的立方体。从这个立方体导出了求外形的规则。首先，它提供了立方体的侧边，被称作立方体的根，这个根产生出了一个数字为“四”的覆盖范围，和数字为“八”的完整的立方体。由此，从覆盖范围的一个角到与之相对的一个角我们得出了一条连线，这条直线将正方形分成了两个相等的部分，因为这个原因，这条线被称作直径。98关于这条线的许多价值还不知道，但是，很显然的是它是“八”的平方根。然后，有一个立方体的直径，这个数字我们确定地知道是“十二”的平方根。99最后，有一条直角三角形的线100它的两个短边是通过一个直角连接在一起的，一个是“四”的平方根，另外一个是“十二”的平方根。第三条和最长的一条线，即正对着直角的那条线，是“十六”的平方根。101因此，正如我们已经讨论过的，这些是那些数字与我们所用于确定这个直径的其他量之间的一些自然的关系。每一个都可以以其最短的线来用作一个覆盖范围的宽度，而以其最长的线作为这一范围的长度，并以居中的那条线作为这一范围的高度。但是，有时候这些是可以加以调整来适应于建筑物的。(https://www.daowen.com)

除了从协调和形体中之外，三个向度的外形轮廓的构成规则也可以从其他来源中推导出来；有关这些我们现在有必要加以讨论。可能有几种三向度尺寸组合的方法是特别适合的；这些方法不仅可以从音乐和几何中，而且也可以从算术中推导出来，对此我们现在要加以检验。哲学家们将其称为“居中的（means）”。102关于这些组合的规则是很多，也是有很大差别的，但是聪明人使用三种主要的方法，他们的目标是去发现，所给出的两个数，一个适中的数，将会以一种确定的规则来对应于另外两个数，或者，通过一组关系以另外一种方式来确定它。

在这样一种考察中，有三向度的尺寸可以提供我们考虑。一种被称作是最长的，另外一种是最短的；第三种，一个适中长短的，与前两者有一种一般性的关系，这就是位于中间的这个数与其他两个数之间的关系。这三种方法主要是被哲学家们所青睐的，所发现最容易的是他们称之为算术的方法。一旦两个极端的数字被确定，例如，最长的数字是“八”，而最短者，比如说，是“四”，将两者加在一起，就产生了“十二”；将其分为两个部分，并取其中的一个部分：它的值将是“六”。这个数字被称为是算术平均数（arithmetical mean），与两个极端的数，“四”和“八”，是等距的。

另外一种中间数是几何的，它是以如下方式获得的。举个例子，比如说，令最短的向度尺寸为四，最长的向度尺寸为九。把两者相乘在一起产生了三十六，它的根，如人们所称之的（那就是，侧边的尺寸产生了一个相等大小的正方形），充满了一个为三十六的覆盖范围。因而，它的平方根是六；因为六将会给出一个三十六的覆盖范围。这一几何的103中间数是非常难以以数字的方式确定的，虽然它可以很容易地通过线的应用而发现；这是一个不需要我在这里讨论的话题。

第三种中间数，被称为“音乐的”，比算术的略有一点困难，但却能够为其完整地定义数字。在这里最短的与最长的向度尺寸之间的比例与最短的和适中的向度尺寸之间的比例是相同的，同样，适中的和最长的向度尺寸之间也与之是相同的，就像在下面的例子中一样。令较短的数字为三十，较长的数字为六十；一个数是另外一个数的两倍。在两倍数中取最小的可能数：第一个是一，另外一个是二；将两者加在一起而得到了三。然后取最长的数六十和最短的数三十两者之间的差，并将其分为三个相等的部分；这三个部分中的每一个都将是十；然后将其中一个数加在较短的那个数上；这使它等于四十。这就是我们所期待的音乐的中间数，它与最大数之间的距离是它与最短数之间距离的两倍，这是一个和我们所举例的这两个最大与最小之极端数之间的比例相同的一个比例。

通过使用像这样的一些中间数，无论是在整座建筑物中，还是在建筑物的局部，建筑师都得到了许多值得注意的结果，逐一提起这些就会太冗长了。他们主要是在建立垂直向度的尺寸中使用这些结果的。