微积分典型例题与解法-习题解答

1.设ｙ＝6׳+3ײ+×+5，求ｙ‴，ｙ（4）．

解ｙ‴＝（6׳+3ײ+×+5）‴＝（6׳）‴＝6·3·2·1＝36，ｙ（4）＝0．

2.设f（×）＝×e^×2，求f″（×）．

解f′（×）＝e^×2+×·e^×2·2×＝e^×2（1+2ײ）f″（×）＝［e^×2（1+2ײ）］′＝e^×2·2×（1+2ײ）+e^×2·4×＝2×e^×2（2ײ+3）

3.求下列函数的N阶导数．

（1）ｙ＝SIN A× （2）ｙ＝e^B× （3）ｙ＝ｌN（1+×）

解 （1）

（2）ｙ′＝Be^B×，ｙ″＝B² e^B×，…，ｙ（N）＝B^N eB×

（3），，，…，

4.设函数ｙ＝ｙ（×）是由方程e^ｙ+×ｙ＝e确定，求ｙ′（0），ｙ″（0）．

解 方程两边对×求导数，有e^ｙｙ′+ｙ+×ｙ′＝0，从而，因此式两端对×求导数，有

从而．

5.设，且f″（ｔ）≠0，求．

解

6.若ｙ＝e ^f（×），求ｙ″；又若ｙ＝ײ ｌN×，求ｙ″．

解 若ｙ＝e ^f（×），则ｙ′＝e ^f（×）·f′（×），从而ｙ″＝e ^f（×）·［f′（×）］²+e ^f（×）f″（×）

若ｙ＝ײ ｌN×，则ｙ′＝2×·ｌN×+×，则ｙ″＝2ｌN×+2+1＝2ｌN×+3

7.设f（×）＝SIN ^×+CoS ×，求f^（27）（π）的值．

解(https://www.daowen.com)

8.设ｙ＝×ｌNf（-×），f（×）二阶可导，求ｙ″．

解，因此

9.设f（×）＝×e^-×，求f（N）（×）．

解f′（×）＝e^-×-×e^-×

f″（×）＝-e^-×-（e^-×-×e^-×）＝-2e^-×+×e^-×

f‴（×）＝2e^-×+e^-×-×e^-×＝3e^-×-×e^-×

…

f（N）（×）＝（-1）N-1 e^-×N+（-1）N×e^-×＝（-1）N-1 e^-×（N-×）

10.设，求f（N）（×）．

解 易得

故．

11.设，求ｙ（N）（2≤N）．

解，故

12.设所确定，求．

解 ，因此，从而．故

13.试从导出：（1）；（2）‴．

证 （1）

（2）