微积分习题：函数连续性和间断点判断

1.证明函数ｙ＝ײ连续.

证 任取，故函数ｙ＝ײ在×₀点连续.由×₀的任意性，函数ｙ＝ײ连续在Ｒ内连续.

2.讨论函数

×＜0×＝0在×＝0处的连续性.

×＞0

解

所以函数f（×）在×＝0处既是左连续又是右连续，从而函数f（×）在×＝0处连续.

3.求下列函数的间断点，并判断类型.

（1） （2）

（3） （4）

解 （1）×＝2为函数ｙ的间断点，×＝2为函数ｙ的无穷间断点.

（2）由于，所以×＝1为函数ｙ的可去间断点，×＝2为函数ｙ的无穷间断点.

（3）因为，，所以×＝1为函数f（×）的跳跃间断点.又因为，，所以×＝2不是函数f（×）的间断点，从而函数f（×）只有一个间断点×＝1，且×＝1为函数f（×）的跳跃间断点.

（4）因为，所以×＝0为函数f（×）的可去间断点.

4.找出函数的间断点，并判断类型.

解 由于，故×＝0是f（×）的无穷间断点.由，知，由，知

故×＝1是f（×）的跳跃间断点.

5.给函数补充定义，使得f（×）连续.

解 由于，故可定义，从而使得f（×）连续.

6.证明方程×⁵-3×+1＝0在区间（0，1）内有根.

证 设f（×）＝×⁵-3×+1，则f（×）在（-∞，+∞）内连续.

f（0）＝1＞0，f（1）＝-1＜0由零点定理知，×⁵-3×+1＝0在区间（0，1）内有根.

7.设f（×）＝e^×-2，求证在区间（0，2）内至少存在一点×₀，使f（×₀）＝×₀.

证 设g（×）＝f（×）-×＝e^×-×-2，则g（×）在（-∞，+∞）内连续.

g（0）＝-1＜0，g（2）＝e²-4＞0由零点定理知，方程g（×）＝0在区间（0，2）内有根，即在区间（0，2）内至少存在一点×₀，使得g（×₀）＝0，从而在区间（0，2）内至少存在一点×₀，使f（×₀）＝×₀.

8.若f（×）在［A，B］上连续，A＜×₁＜×₂＜B，证明一定存在介于A，B之间的一点ξ，使得αf（×₁）+βf（×₂）＝（α+β）f（ξ）成立，其中α＞0，β＞0.

证 因为函数f（×）在［A，B］上连续，则在区间［A，B］上必有最大值m和最小值m，从而

（α+β）m＝αm+βm≤αf（×₁）+βf（×₂）≤αm+βm＝（α+β）m即

由介值定理知，必存在ξ∈［A，B］，使得，即一定存在介于A，B之间的一点ξ，使得αf（×₁）+βf（×₂）＝（α+β）f（ξ）成立.

9.设f（×）处处连续，且f（1）＝2，求.

解 由于，故令，则由f（×）处处连续知

10.设函数，则函数f（×）（ ）.(https://www.daowen.com)

A.存在间断点×＝-1 B.存在间断点×＝0 C.存在间断点×＝1 D.不存在间断点

解 当×＞1时，；当×＜1时，；故

由，知×＝-1为间断点；由，知f（×）在×＝1处连续，因此选择A.

11.下列命题正确的是（ ）.

A.若f（×）在（-∞，+∞）内有定义，则至少存在一点×₀，使f（×）在×₀点连续

B.若f（×）在×₀点连续，则f（×）在×₀点必定连续

C.若f（×）在（A，B）内连续，则f（×）在（A，B）内一定能取到最大值和最小值

D.若f（×）在（A，B）内连续，且f（A）·f（B）＜0，则至少存在一点ξ∈（A，B），使f（ξ）＝0

解 考察当x是有理数时当x是无理数时∀×₀∈（-∞，+∞），当点×沿着有理点列ｈ_I趋于×₀时，有，当点×沿着无理点列k_I趋于×₀时，有，所以不存在，f（×）在×₀点不连续.由于×₀点的任意性，知f（×）在其定义域上任意点处都不连续.因而排除A.

考察函数，它在（0，1）内连续，但在（0，1）内取不到最大值和最小值，排除C.

考察，它在（0，1）内连续，且f（0）·f（1）＜0，但不存在点ξ∈（0，1），使f（ξ）＝0.排除D.

因为，故.再由f（×）在×₀点连续，即f（×₀），因而，即f（×）在×₀点连续.选择B.

12.设f（×）在×＝A连续，φ（×）在×＝A间断，又f（A）≠0，则（）.

A.φ［f（×）］在×＝A间断 B.f［φ（×）］在×＝A间断

C.［φ（×）］²在×＝A间断 D.在×＝A间断

解 反证法可得正确答案是D.事实上，若在×＝A连续，再由f（×）在×＝A连续可知，在×＝A连续，与条件矛盾.

13.设f（×）在［0，2A］上连续，且f（0）＝f（2A），证明：∃ξ∈［0，A］，使f（ξ）＝f（ξ+A）.

证 设g（×）＝f（×）-f（×+A），则由f（×）在［0，2A］上连续知g（×）在［0，A］上连续，且g（0）＝f（0）-f（A）与g（A）＝f（A）-f（2A），故g（0）·g（A）＝-［f（0）-f（A）］²≤0.

若g（0）·g（A）＝0，即f（0）＝f（A），则取ξ＝0就有f（ξ）＝f（ξ+A）；

若f（0）·f（A）＜0，则由零点定理知∃ξ∈［0，A］使得g（ξ）＝0，即∃ξ∈［0，A］，使f（ξ）＝f（ξ+A）.

14.设函数，求A，B，使f（×）在（-∞，+∞）上连续.

解f（×）在（-∞，+∞）上连续得，而

故A＝1，B＝e².

15.已知方程׳+（2m-3）×+m²-m＝0有三个不等实根，分别介于（-∞，0），（0，1），（1，+∞）内，求m的取值范围.

解 设f（×）＝׳+（2m-3）×+m²-m，则由条件知f（1）＝m²+m-2＜0且f（0）＝m²-m＞0.由f（1）＝m²+m-2＜0得到-2＜m＜1，再由f（0）＝m²-m＞0得m＞1或m＜0，因此-2＜m＜0.

16.设处处连续，求A，B的值.

解处处连续，当然f（×）在×＝-1和×＝1点

都连续，则同时有和.

由可得，A+B＝1.

由可得，A-B＝-1，因此A＝0，B＝1.