【摘要】：1．用换元法计算下列各定积分．（1） （2）（3） （4）（5） （6）解 （1）（2）（3）（4）（5）（6）2．用分部积分计算下列各定积分．（1） （2）（3）（4） （5）解（1）（2）因此有．（3）（4）（5）3．利用函数奇偶性计算下列各定积分．（1） （2）（3） （4）（5）解 （1）由于被积函数是奇函数，因此．（2）由于被积函数是奇函数，因此．（3）．（4）．（5），易看出被积函数是
1．用换元法计算下列各定积分．
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
解 （1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
2．用分部积分计算下列各定积分．
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
解（1）
（2）
因此有
．
（3）
（4）
（5）
3．利用函数奇偶性计算下列各定积分．
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
解 （1）由于被积函数是奇函数，因此
．
（2）由于被积函数是奇函数，因此
．
（3）
．
（4）
．
（5）
，易看出被积函数是奇函数，则有
．
4．利用
，求∫
×．
解
5．设函数公式
计算
．(https://www.daowen.com)
解
6．设f（×）连续，
，求
．
解
等式两边对×求导，则有
，故有
．
7．证明：（1）若f（×）为连续的偶函数，则
为奇函数；
（2）若f（×）为连续的奇函数，则
为偶函数（A为任意
常数）．
证（1）因为
所以f（×）为奇函数．
（2）因为
f（×），所以f（×）为偶函数．
8．证明
．
证
而
所以，当N为偶数时，
，
当N为奇数时，
9．设f（π）＝1，且
，求f（0）．
解
而f（π）＝1，所以f（0）＝2．
10．设函数f（×）在（-∞，+∞）内满足f（×）＝f（×-π）+SIN×，且f（×）＝×，×∈［0，π］，计算
解
11．
，计算
解
注 本题利用了二重积分中交换积分次序．
12．设f（×）为连续函数，且
，已知f（1）＝1，求
解 令2×-ｔ＝ｕ，则
方程两边对×求导，可得
又因为f（1）＝1，所以有
13．设f（×）为连续函数，且f（0）≠0，
解
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