微积分典型例题与解法-习题计算下列积分

1．利用定积分的定义计算下列积分．

（1） （2）

解 （1）将［A，B］N等分，，ξ_I取在Δ×_I的左端点，则ξ_I＝A+．

（2）将［0，1］N等分，分点为，（I＝0，1，…，N），，Δ

2．利用定积分的几何意义，求下列定积分．

（1） （2） （3）

解 （1）由定积分的几何意义，以及函数ｙ＝SIN×在区间［0，π］非负，而在区间［-π，0］非正，表示与×轴所围图形面积的代数和，故有0．

（2）由定积分的几何意义，

表示由直线ｙ＝×，×＝1以及×轴所围图形的面积，该图形时三角形，所以．

3．利用定积分的性质，比较下列各定积分值的大小．

（1）与 （2）与

（3）与 （4）与

解 （1）在区间［0，1］上，ײ≥׳，因此比大．

（2）在区间［1，2］上，ײ≤׳，因此比小．

（3）在区间［1，2］上，因为0≤ｌN×≤1，则ｌN×＞（ｌN×）2，因此比大．

（4）在区间［0，1］上，e^×≥ｌN（1+×），因此比大．

4．估计下列各积分的值．

（1） （2） （3）

解 （1）在区间上，1＝1+0≤1+SIN²×≤1+1＝2，故有

（2）在区间，函数f（×）＝×AｒCｔAN×是单调增加的，因此有，即，故有

（3）设f（×）＝ײ-×，×∈［0，2］，则f′（×）＝2×-1，f（×）在区间［0，2］上的最大值、最小值必为f（0），，f（2）中的最大值和最小值．即最大值和最小值分别为f（2）＝2和，

故有

又因为，所以．(https://www.daowen.com)

5．利用积分中值定理求×．

解 根据积分中值定理值，至少存在，使得，

因此

6．设函数f（×）在区间［0，1］上连续，其区间（0，1）可导，且

证明在区间（0，1）内至少存在一点ξ，使得f′（ξ）＝0．

证 利用积分中值定理可知，至少存在一点，使得，由已知条件有f（C）＝f（0）．

在区间［0，C］上，函数f（×）满足罗尔定理的条件，所以至少存在一点ξ∈（0，C）⊂（0，1），使得f′（ξ）＝0．

7．设∀×∈［A，B］都有f（×）＞0，f′（×）＞0，f″（×）＜0，则f（B）（B-A），∫^Bf（×）D×、A（B-A）和f（A）（B-A）的从大到小的顺序是什么？

解 因为f′（×）＞0，所以函数f（×）是单调增加的，而f″（×）＜0，函数f（×）是凸函数，所以有

8．设，，则（ ）．

A．I₁＞I₂＞1　B．1＞I₁＞I₂ C．I₂＞I₁＞1　D．1＞I₂＞I1

解 在时，ｔAN×＞×，即，故有

而，则，利用排除法，答案为B．

9．设f（×）＝×e^×，则极限

为（ ）．

A．

B． C． D．

解 因为f（×）＝×e^×，所以f^（N）（×）＝×e^×+Ne^×，f^（N）（0）＝N．所以，答案为A．

10．设f（×）∈C［0，1］且0≤f（×）＜1．试证：．

解 利用积分中值定理，可得至少存在ξ∈［0，1］，使得