逻辑学概论：判定推理有效性

第四节　推理有效性的判定

在实际应用中，推理的情况更为复杂，往往不是出现一种推理，而是几种推理都存在。如何判定一个推理是否有效，就成为一个问题。下面我们将介绍三种比较常用的判定方法。

一、真值表法

复合命题推理实质上就是一个从前提到结论的蕴涵式，因此，如果该蕴涵式是一个重言式，那么说明该复合命题推理是有效的。所有的真值形式分为三种情况:重言式、可真式和矛盾式。重言式是一个真值形式的真值表全部为真；可真式是一个真值形式的真值表有些为真；矛盾式是一个真值形式的真值表全部为假。重言式一定为可真式，但可真式不一定为重言式。例如:

由上表可知:“p→q”的真值有些情况为真，为可真式；“～p→（p→q）”的真值全部为真，为重言式；“（p→q）∧（p∧～q）”的真值全部为假，为矛盾式。而一个命题推理是有效的，要求其真值形式必须为重言式。如果一个命题推理的真值形式不是重言式，则该推理无效。

一个命题推理有效，其推理形式为有效式；一个真值形式的真值表全部为真，该真值形式必然为重言式。有效式是对于命题推理而言的；重言式是对于真值形式而言的。命题推理有效，该推理形式一定为重言式；但重言式不一定为有效推理，它可能不是推理形式。简单来说，在命题逻辑范畴内，有效式一定是重言式，但重言式不一定是有效式。

真值表法是判定命题推理是否有效的一种方法，其判定过程是一个完全机械的可靠程序。

判定步骤:

第一步:将前提和结论分别形式化，写出其真值形式。

第二步:前提之间用合取符号连接，前提与结论用蕴涵符号连接，将整个推理写成一个真值形式。

第三步:根据初始真值表，得出真值形式的真值。

第四步:根据其真值情况，判定推理是否有效。

例（1）:如果此物体受到摩擦，那么它就会发热；此物体受到了摩擦，所以，此物体会发热。

首先，写出推理的真值形式。用p表示“此物体受到摩擦”，用q表示“此物体会发热”，则两个前提分别为“p→q”和“p”，结论为“q”。

其次，将整个推理写成一个真值形式。该推理的真值形式为:（p→q）∧p→q。

再次，得出真值形式的真值。

最后，判定推理是否有效。由于该推理的真值形式为重言式，所以该推理有效。

例（2）:如果官司打赢，那么学生要掏另一半学费；如果官司打输，那么学生要掏另一半学费；官司或者打赢或者打输；总之，学生都要掏另一半学费。

解:令p表示“官司打赢”；令q表示“学生要掏另一半学费”；用～p表示“官司打输”。

该推理的真值形式为:（p→q）∧（～p→q）∧（p∨～p）→q

由此可以判定，真值形式为重言式，该推理有效。

而如果一个推理的真值形式不是重言式，则该推理为无效推理。

例（3）:如果不是小张和小李都不去春游，小王一定去春游；小张决定去春游，因此，小王一定去春游。

解:令p表示小张去春游；q表示小李去春游；r表示小王去春游。

该推理的真值形式为:（～p∧～q→r）∧p→r

由真值表可以断定，该真值形式不是重言式，该推理为无效推理。

从理论上说，真值表法可以判定任意推理，但该方法有个局限，如果复合命题推理所包含的变项较多，操作起来可能十分繁琐不便。还有对真值表法的简化使用，也称作简化的真值表法，或称归谬赋值法。当变项较多时，用这种方法就比较方便。

二、归谬赋值法

归谬赋值法的基本思想是:为了证明一个推理是否有效，我们将其转化为真值形式是否为重言式，而为了证明一个真值形式是否是重言式，必须证明它不可能是前件为真，后件为假。先假设所要判定的真值形式前件为真，后件为假，并且根据这个假设，给每个命题变项赋值，使其满足前件为真且后件为假。在这样的赋值过程中，如果出现矛盾赋值，即必须同时给一个命题形式既赋真值，又赋假值，那么，这说明原假设不成立，因而它是重言式；反之，如果不出现矛盾赋值，则说明该组赋值满足前件为真，后件为假，因而该真值形式不是重言式，该推理无效。

例（1）:请判定（p→q）∧～q→～p是否为重言式。

（p→q）∧～q→～p

T T F T T F F F T

　　F

第一步，先假定“（p→q）∧～q”为真，“～p”为假。

第二步，得出“p→q”取真值，“～q”取真值，“p”取真值。

第三步，由“～q”取真值，可以得出“q”取假值。

第四步，由“p”为真，“q”为假，可得“p→q”为假。

第五步，“p→q”既取真值，又取假值，推出矛盾。所以，该假设不成立，真值形式为重言式。

例（2）:请判定（p→q）∧q→p是否为重言式。

（p　→　q）∧　q　→　p

F T T T T F　　F

第一步，先假定“（p→q）∧q”为真，“p”为假。

第二步，得出“p→q”取真值，“q”取真值。

第三步，由“p”取假值，“q”取真值，可得“p→q”取真值。

第四步，当“p”取假值，“q”取真值时，并未推出矛盾，故该假设成立，此真值形式不是重言式。

例（3）如果地球围绕太阳公转，但并不围绕自己的轴线自转，那么地球上就没有白天和黑夜。因为事实上地球有白天和黑夜，所以，或者地球并不公转，或者地球既公转又自转。

令p表示“地球围绕太阳公转”，q表示“地球围绕自己的轴线自转”，r表示“地球上有白天和黑夜”。

该推理的真值形式为:（p∧～q→～r）∧r→～p∨（p∧q）

（p　∧　～　q　→　～　r）∧　r　→　～　p∨（p∧q）

F F　　T F T　　T T F F T F T F F

T

命题变项p赋值出现矛盾，故该真值形式为重言式，此推理有效。

三、自然推理法

自然推理是判定推理形式有效性的又一种方法。自然推理的基本思想是确定一些推理规则，这些规则具有保真性。也就是说，依据这些规则，从真的前提只会推出真结论。因此，从所要判定的推理的前提出发，依据推理规则，如果能形式地推出预期的结论，这就说明此推理有效。否则，此推理无效。

基本的推理规则有联言推理的分解式和组合式、选言推理的否定肯定式和析取附加式、充分条件假言命题的肯定前件式和否定后件式、必要条件假言命题的否定前件式和肯定后件式等。本章介绍的所有关于命题推理的推理规则，都具有保真性，在接下来的推理中，可以做为推理规则使用。

一般来说，自然推理法分为三个步骤:

第一，将推理的前提和结论形式化，写出其真值形式；

第二，由已知为真的真值形式按照推理规则进行推理；

第三，根据推理结果，确定该推理是否有效。

例1:某盗窃案的侦破过程中，甲、乙、丙、丁四人都有作案的嫌疑，后来进一步查明:

①如果甲和乙都是作案人，那么丙不是作案人。

②只有乙是作案人，丁才是作案人。

③甲和丙是作案人。

所以，乙和丁也是作案人。

解:令p表示甲是作案人；q表示乙是作案人；r表示丙是作案人；s表示丁是作案人。

（1）p∧q→～r　　　　　　　　　前提

（2）q←s　　　　　　　　　　　 前提

（3）p∧r　　　　　　　　　　　 前提

（4）p，r　　　　　　　　　　　 （3）分解式

（5）～（p∧q）　　　　　　　　 （1）（4）否定后件式

（6）～p∨～q　　　　　　　　　 （5）等值命题

（7）～q　　　　　　　　　　　 （4）（6）否定肯定式

（8）～s　　　　　　　　　　　 （2）（7）否定前件式

所以，乙和丁不是作案人。而题干中结论是乙和丁也是作案人，与题目中推理结果不符，因此，题干中推理无效。

例2:饥饿或是胃部引起，或是大脑中的血液循环引起，或是全身的神经引起。如果饥饿由胃部引起，那么切断兔子胃部的神经联系就会阻止正常进食；但进行这样的实验并没有阻止兔子的正常进食。大脑的活动总是开始于神经末梢的被刺激。如果这样，饥饿就不会是大脑中的血液循环引起。因此，饥饿是由全身的神经引起的。

解:令p表示饥饿是由胃部引起；q表示饥饿是大脑中的血液循环引起；r表示饥饿是全身的神经引起；s表示切断兔子胃部的神经联系就会阻止正常进食；t表示大脑的活动总是开始于神经末梢的被刺激。

（1）p∨q∨r　　　　　　　　　　前提

（2）p→s　　　　　　　　　　　 前提

（3）～s　　　　　　　　　　　　前提

（4）t　　　　　　　　　　　　　前提

（5）t→～q　　　　　　　　　　 前提

（6）～p　　　　　　　　　（2）（3）否定后件式

（7）～q　　　　　　　　　（4）（5）肯定前件式

（8）～p∧～q　　　　　　 （6）（7）组合式

（9）～（p∨q）　　　　 　（8）等值式

（10）r（1）　　　　　　 　（9）否定肯定式

所以，饥饿是由全身神经引起的，题干中推理正确。(https://www.daowen.com)

练　习　题

1.指出下列复合命题的种类，并写出其结构式。

（1）不破不立，不塞不流，不止不行。

（2）我们是见难而进，还是见难而退？

（3）如果而且只有社会分裂为阶级的时候，国家才会出现。

（4）不是东风压倒西风，就是西风压倒东风。

（5）不入虎穴，焉得虎子。

（6）物极必反。

（7）如果某推理的结论是错误的，那么或是该推理的前提是错误的，或是该推理的形式是错误的。

（8）会憎，才会爱。

（9）要做一个人民的作家，必须熟悉人民的语言。

（10）并非所有受过高等教育的人都是科学家。

（11）在中世纪或其前后，由低等雄类中分化出了大型的类人猿。

（12）这个人或是作家，或是评论家。

（13）决不是一个人记忆力强并且延长学习时间，他就能够获得奖学金。

（14）人寿命之长短，或因受遗传因素影响，或因受后天因素的影响。

（15）他不但嘴上这么说，而且行动上也这么做。

（16）甲、乙、丙三人中至少有一个看过《牛蛇》。

（17）并非甲、乙、丙看过《苔丝》。

（18）现在不是西风压倒东风，而是东风压倒西风。

（19）凡事豫则立，不豫则废。

（20）如果马克思主义害怕批评，如果它会被批评倒，那么马克思主义就没有用了。

2.给出下列命题的负命题并进行等值推理。

（1）只有由外国人当顾问，才能把某些企业办好。

（2）某厂产品质量、数童都超过了原定计划。

（3）如果甲队队员身材高大并且有必胜的信心，甲队就能打败乙队。

（4）那封信或是航空信，或是平信。

（5）这种方法既省工又省料。

（6）如果吃得多就长得胖。

（7）所有青年都是科学家，或者所有青年都是体育爱好者。

（8）他不可能不知道老王的地址，并且也不可能不去看他。

（9）当且仅当某年风调雨顺，这一年才能获得丰收。

（10）一个人没有一定的生活基础，或者缺乏文字表达能力，但他要写出好小说也是可能的。

（11）那封信要么寄往北京，要么寄往上海。

（12）他或者是个作家，或者是个艺术家。

（13）只有精通外语并且学会打字，才能成为一个好领导。

（14）只有见大风或者下大雨，运动会才不会按期举行。

（15）或者A和B去看电影，或者C和D去看电影。

3.下列假言推理是哪种假言推理？并请写出各假言推理的逻辑形式。

（1）只有学好基础知识，才能攀登科学技术高峰；他没有学好基础知识；所以他不能攀登科学技术高峰。

（2）如果大家心齐、有干劲，则我们的事情就有成功的希望；看来大家心齐，也有干劲；所以，我们的事情是有希望的。

（3）只有热爱教育事业的人，才能成为一个优秀的教育工作者；这个教师是最优秀的教育工作者；所以他是热爱教育事业的人。

（4）假如没有科学技术的高度发展，就不可能有国民经济的高速度发展；我们要有国民经济的高速度发展；因此，我们必须有科学技术的高度发展。

（5）当且仅当三角形的三条边相等，它的三角才相等；这个三角形的三条边不等；所以它的三个角不等。

4.下列推理是分解式联言推理还是组合式联言推理？为什么？请写出推理的逻辑形式？

（1）教师要有高尚的师德，因为教师既要有高深的学问，又要有高尚的师德。

（2）中国是亚洲国家，中国是社会主义国家，中国是发展中国家，所以，中国是位于亚洲的发展中的社会主义国家。

（3）工人、农民、知识分子都是我们进行社会主义四化建设的依靠力量，所以，知识分子是我们进行社会主义四化建设的依靠力量。

（4）肯定一切的观点是错误的，否定一切的观点是错误的，所以肯定一切和否定一切的观点都是错误的。

5.下列选言推理各是哪种选言推理？为什么？并写出各选言推理的逻辑形式。

（1）一篇译文出现错误，或是由原文错误造成的，或是由于翻译错误造成的；这篇译文出现的错误不是由原文错误造成的；所以，这篇译文出现的错误是由翻译有错造成的。

（2）在我国资产阶级民主革命彻底完成以后，摆在我国人民面前，只有两条道路:或者走社会主义道路，或是走资本主义道路。历史证明，资本主义道路是走不通的，也是为广大人民所反对的，所以，我国的唯一出路就是走社会主义道路。

（3）胜者或是因其强，或是因其指挥无误；该方取胜是因其指挥无误，因为该方取胜不是因其强。

（4）一种天然纤维，要么是植物纤维，要么是动物纤维，要么是矿物纤维，该天然纤维是矿物纤维；所以该纤维不是植物纤维，也不是动物纤维。

6.下列推理各是哪种推理？为什么？请写出该推理的符号公式。

（1）如果你热爱学习，学习会给你无穷的乐趣；如果你厌恶学习，学习会给你无尽的烦恼；你或者热爱学习，或者厌恶学习；因此，学习或者会给你带来无穷的乐趣，或者会给你无尽的烦恼。

（2）一个人如果常练习短跑，他就会有速度；一个人如果常练习长跑，他就会有耐力；这个人既常练短跑，又常练长跑；所以，他跑起来既有速度又有耐力。

（3）如果认真，就能学得好；如果方法对，就能学得快；你或者学得不好，或者学得不快；所以，你或者不认真，或者方法不对，总之学习上有问题。

（4）祖国是我们的母亲。如果她富强，我们应该热爱她；如果她贫穷，我们也应该热爱她；不论她富强还是贫穷；我们都应该热爱她。

（5）如果一个罪犯态度老实，他就会彻底交待罪行；如果一个罪犯态度老实，他就会检举揭发同伙；这个罪犯不彻底交待罪行，又不检举揭发同仪；所以，他态度不老实。

（6）对于一个国家干部来说，如果你真心实意为社会主义四化建设服务，你就应该坚持不断学习；如果你真心实意为社会主义四化建设服务，你就应该积极工作；你或者不坚持学习，或者不积极工作；所以，你没有真心实意为社会主义四化建设服务。

7.在某校的一次春节联欢会上，老师让两个学生做了一个游戏。他对两个学生说:“我手里有三块糖，两块软糖，一块硬糖。现在，我暗中分别给你们一人一块，我自己留一块。请你们根据自己手上的糖，来推测对方手里是什么糖。”

当这两个学生拿到糖时，起先都呆了一下，好像推测不出来。就在这时，其中一个学生兴奋地喊了起来:“我猜着了”。

请问:这个学生推出对方手里拿的是什么糖？他是怎样推论的？

8.一天早晨，王老头被害死在他的卧室里。公安人员调查现场时，听邻居反映，王老头的两个儿子都想独吞其家产，于是询问这两个儿子说:“案前你们是否去过死者的卧室？如果你们不是罪犯的话，那么就应该说实话。”大儿子说:“我进去过，是想跟父亲要点钱用，可他睡得很沉，我只好出来了。当时的准确时间我已经记不清了。”小儿子说；“我进去过，是给房里的老式挂钟上紧发条的。当时挂钟显示的时间是8点20分。”

“你拨没拨动指针？”公安人员问。

“没有必要，因为它走得很准确。”小儿子不慌不忙地回答。

公安人员立刻拘留了小儿子。

请问:公安人员在认定小儿子可能是罪犯的过程中运用了什么推理？请将这个推理写出来。

9.战国时期著名的纵横家苏秦在齐国时，群臣出于嫉妒心，派人刺杀了他。齐王命人到处抓这个刺客，然而一直没抓到。

苏秦临死前对齐王说:“臣死之后，请大王将臣五马分尸，并当众宣布臣是为燕国而来齐国的，这样，就一定能抓到那个刺客。”

苏秦死后，齐王就按此办理了。果然，那个刺客主动跳了出来，被齐王抓住。

请分析苏秦的遗言中包含了什么推理，并把它写出来。

10.据说，文成公主入藏与松赞干布成婚，有这样一段佳话:

文成公主既美丽又聪明，她选驸马时提出一个条件:求婚者谁能提出问题难倒她，她就嫁给谁。许多求婚的公子，提出许多稀奇古怪的问题，文成公主对答如流，使他们一个个高兴而来，败兴而归。

松赞干布得知后，他很坦然恳切地向文成公主说:“请问公主，为了使你成为我的妻子，我应提出什么问题才能难倒您？”文成公主听后，什么也没说，就应下了婚事。

请问:聪明的松赞干布用了什么推理，使文成公主不得不实践了自己的诺言？写出这个推理。

11.郭沫若在《李白和杜甫》一书中，考证了李白的出生地，他写道:

唐代诗人李白，于武则天长安元年（701年），出生于中亚的碎叶城。出处见范传正《唐友拾遗翰林学士李公新墓碑文》（唐代宗初年曾任命李白为左拾遗，于时李白已死）。新墓作于唐宪宗元和十二年（817年），在李白死后五十年。其文有云:

公名白，字太白，其先陇西成纪人。绝嗣之家，难求谱牒。公之孙女搜于箱箧中，得公之亡子伯禽手疏十数行，纸坏字缺、不能详备，约而计之。凉武昭王九代孙也。隋末多难，一房窜于碎叶。流离散落，隐易姓名。

考碎叶在唐代有两处:其一即中亚碎叶；其二为焉耆碎叶。焉耆碎叶，其城为王方翼所筑，筑于高宗调露元年（679年）。《碑文》既标明“隋末”，可见李白的出生地是中亚碎叶，而非焉耆碎叶。

请问郭沫若考证李白出生地时用了什么样的推理？并把这个推理写出来。

12.某届“百花奖”评选结束。甲电影制片厂拍摄的《黄河，中华民族的摇篮》获得最佳故事片奖，乙电影制片厂拍摄的《孙悟空和小猴子》获最佳美术片奖，丙电影制片拍摄的《白娘子》获最佳戏曲片奖。

授奖大会后，某电影制片厂邀请这几部片子的导演去介绍经验。在火车上，甲厂的导演说:“真是有趣得很，我们三个的姓分别是片名的第一个字。丙说，我们每个人的姓同自己所拍的片子的片名的第一个字不一样。一个姓孙的导演笑一笑说:“真是这样！”

请问:这三部片子的导演各姓什么？写出推理过程。