考点四：奈奎斯特定理与香农定理
传输介质的传输速度该怎么度量，就是说它们的带宽（数据传输率）是多少。早在1924年，AT&T的工程师奈奎斯特（Nyquist）就认识到即使一条理想的信道，其传输能力也是有限的。他推导出一个公式，用来表示一个有限带宽的无噪声信道的最大数据传输率。1948年，香农（Shannon）进一步把奈奎斯特的工作扩展到有随机噪声（热动力引起的）的信道的情形。
1.奈奎斯特定理
具体的信道所能通过的频率范围总是有限的（因为具体的信道带宽往往是确定的），所以信号中的大部分高频分量就不能通过，这样在传输过程中会有衰减，导致在接收端收到的信号波形失去了码元之间的清晰界限，这种现象称为码间串扰。奈奎斯特在采样定理和无噪声的基础上，提出了奈奎斯特定理，该定理证明在假定的理想条件下，为了避免码间串扰码元的传输速率的上限值。奈奎斯特定理公式为
式中：B为波特率；W是信道带宽。
假设每个码元的离散电平（码元的种类）的数目是V，那么信道的极限数据传输率为
请注意，式（2-2）是奈奎斯特定理，式（2-3）是奈奎斯特定理的推论，事实上，式（2-1）和式（2-2）可以推出式（2-3）。
2.香农定理
香农用信息论的理论推导出了带宽受限且有高斯白噪声干扰的信道的极限、无差错的信息传输率。信道的极限信息传输率C可表达为
式中：W为信道带宽（以Hz为单位）；S为信道内所传输信号的平均功率；N为信道内部的高斯噪声功率。
注意：信噪比就是信号的平均功率和噪声的平均功率之比，但是考试中有两种形式，具体如下：
（1）如果分别给出S、N、W的值，直接代入香农定理公式进行计算。
（2）如果给出W和信噪比（分贝/dB），那么需要代入式（2-5）
先计算得出S/N，再把W和S/N代入香农定理公式进行计算。
3.奈奎斯特定理与香农定理总结和对比
（1）奈奎斯特定理只是给出了在无噪声情况下码元的最大传输速率。但是奈奎斯特定理并没有给出极限数据传输率，从概念上讲可以让每个码元具有无穷多离散电平，那么就可以在有限码元速率的情况下，让数据传输率无限大。
（2）香农定理证明了要使信息的极限传输速率提高，就必须提高信道的带宽或信道中的信噪比。换句话说，只要信道的带宽或信道中的信噪比固定了，极限传输速率就固定了。
（3）只要信息的传输速率低于信道的极限传输速率，就一定能找到某种方法来实现无差错的传输。
（4）实际信道上能够达到的信息传输率要比香农的极限传输速率低。
（5）考试中，如果两个公式都能用，那么实际的数据传输率是二者中的较小者。
于是利用五大公式就可以计算这些介质的传输速度，即带宽（数据传输率）。在计算时，大家还要注意对号计算，不要用错公式。
【政哥点拨】
1.一个传输数字信号的模拟信道的信号功率是0.62W，噪声功率是0.02W,频率范围为3.5～3.9MHz,该信道的最高数据传输率是( )。
A.1Mb/s B.2Mb/s C.4Mb/s D.8Mb/s
解析 B 香农定理给出了带宽受限且有噪声干扰的信道的极限数据传输率,当用此速率进行传输时,可做到不产生误差。该定理可定义为
信道极限数据传输率=Wlog2(1+S/N)
式中：W为信道带宽；S为信道所传输信号的平均功率；N为信道内部的噪声功率；S/N为信号的平均功率和噪声的平均功率之比(又称为信噪比)。
故而,当S=0.62W，N=0.02W，频率范围为3.5～3.9MHz[带宽为3.9-3.5=0.4（MHz）]时,信道的最高数据传输率=0.4×log2(1+0.62/0.02)=0.4×log232=0.4×5=2（Mb/s）。
2.在无噪声的情况下,若某通信链路的带宽为3kHz,采用4个相位,每个相位有4种振幅的QAM调制技术,则该链路的最大传输速率是( )。
A.12kb/s B.24kb/s C.48kb/s D.96kb/s
解析 B 奈奎斯特给出了在码元传输率最大时,可求出信道容量C为
C=2Wlog2V
式中：C表示信道容量；W表示信道带宽；V表示一个码元所取的有效离散值个数。
对于本题，W=3kHz，V=4×4,可计算得到C=6×log216=24（kb/s）。故而,选择B项。
3.一个理想低通信道带宽为3kHz,其最高码元传输率为6000Baud。若一个码元携带2 bit信息量,则最高信息传输率为( )。
A.12000b/s B.6000b/ s C.18000b/s D.12000Baud
解析 A 因为最高码元传输率为6000Baud,一个码元可以携带2bit的信息量,可知最高信息传输率为6000×2=12000（b/s）。故而,选择A项。
4．根据香农定理,带宽为4000Hz,信噪比为30dB的信道容量是( )。
A.20kb/s B.80kb/s C.40kb/s D.120kb/s
解析 C 在有随机热噪声的信道上传输数据信号时,数据传输率C可表达为式中：C的单位为b/s,带宽W的单位为Hz,信号与噪声功率比(简称信噪比)通常以dB(分贝)数表示。由10lg(S/N)=30dB,得S/N=1000。因此，C=W×log2(1+S/N)=4000×log2(1+1000)= 40（kb/s）。综上所述,答案为C项。
C=W×log2(1+S/N)
政哥应试提醒：在考研中，结合真题的出题规律，本考点中数据率计算五大公式是出题的主力，在本讲中占据重要位置，大家只需要掌握其计算方法，会结合情形计算即可。
难度系数：★
牛刀小试
1.信号传输率为1200Baud,每个码元可取8种离散状态,该信号的数据传输率是( )。
A.1200b/s B.3600b/s C.9600b/s D.150b/s
2.奈奎斯特定理描述了有限带宽、无噪声信道的最大数据传输率与信道带宽的关系。对于二进制数据,若信道带宽B=3000Hz,则最大数据传输率为( )。
A.300b/s B.3000b/s C.6000b/s D.2400b/s
3.在码元速率为1600Baud的调制解调器中,采用8PSK（8相位）技术,可获得的数据速率为( )。
A.2400b/s B.4800b/s C.9600b/s D.1200b/s
4.采用曼彻斯特编码，100Mb/s传输速率所需要的调制速率为（ ）。
A.200MBaud B.400Mbaud C.50Mbaud D.100MBaud
5.某信道的波特率为1000Baud，若令其数据传输速率达到4kb/s，则一个信号码元所取的有效离散值个数为（ ）。
A.2 B.4 C.8 D.16
6.已知某信道的信号传输速率为64kb/s，一个载波信号码元有4个有效离散值，则该信道的波特率为（ ）。
A.16kBaud B.32kBaud C.64kBaud D.128kBaud
7.有一条无噪声的6kHz信道，每个信号包含16级，每秒采样24000次，那么可以获得的最大数据传输率是（ ）。
A.24kb/s B.32kb/s C.48kb/s D.72kb/s
8.对于某带宽为4000Hz的低通信道，采用16种不同的物理状态来表示数据。按照奈奎斯特定理，信道的最大传输率是（ ）。
A.4kb/s B.8kb/s C.16kb/s D.32kb/s
9.二进制信号在信噪比为127∶1的4kHz信道上传输，最大的数据传输率可达到（ ）。
A.28000b/s B.8000b/s C.4000b/s D.可以是无限大
10.电话系统的典型参数是信道带宽为3000Hz，信噪比为30dB，则该系统的最大数据传输率为（ ）。
A.3kb/s B.6kb/s C.30kb/s D.64kb/s
11.采用8种相位，每种相位各有两种幅度的QAM调制方法，在1200Baud的信号传输速率下能达到的数据传输率为（ ）。
A.2400b/s B.3600b/s C.9600b/s D.4800b/s
牛刀小试解析
1.B 解析 比特率与波特率的关系为C=Blog2V(b/s)。式中，C为比特率；B为波特率；V为一个脉冲信号所表示的有效状态,即码元所取的离散值数量。本题中,B=1200Baud,V=8。故而, C=1200×log28=3600（b/s）,选择B项。
2.C 解析 本题中,由于传送的二进制信号是“1”“0”两个电平,因此V=2。又因为B=3000Hz,可以直接利用奈奎斯特定理公式求解。利用公式求信道容量C=2Wlog2V。
对于本题,W=3000Hz,V=2,可计算得到C=2W×log2V=2×3000×log22=6000b/s。故而,选择C项。
3.B 解析 调制解调器采用8相位技术,每个变化能够表示8种不同的信号。由每个变化可以表示的比特数为n=log2V,解得n=log28=3。再由比特率=波特率×n,可获得数据速率为1600×3=4800（b/s）,选择B项。
4.A 解析 以太网使用曼彻斯特编码，这就意味着发送的每位都有两个信号周期，因此波特率是数据率的两倍。故而当传输速率为100Mb/s 时，波特率是200MBaud。
5.D 解析 比特率=波特率×n，若一个码元含有n比特的信息量，则表示该码元所需要的不同离散值为2n个。在数值上波特率=比特率/每码元含比特数，故每码元所含比特数= 4000/1000=4（bit），有效离散值的个数为24=16。
6.B 解析 一个码元若取2n个不同离散值，则含有nbit的信息量。在本题中，一个码元含有的信息量为2bit，由于在数值上波特率=比特率/每码元含比特数，因此波特率=64÷2=32（kBaud）。
7.C 解析 无噪声的信号应该满足奈奎斯特定理，即最大数据传输率=2Wlog2V（b/s）。将题目中的数据代入，得到答案是48kb/s。
8.D 解析 根据奈奎斯特定理，本题中W=4000Hz，最大码元传输速率=2W=8000Baud，16种不同的物理状态可表示log216=4（bit）数据，所以信道的最大传输速率=8000×4=32（kb/s）。
9.B 解析 根据香农定理，最大数据率=Wlog2(1+S/N)=4000×log2(1+127)=28000（b/s），本题容易误选A项。但注意题中“二进制信号”的限制，根据奈奎斯特定理，最大数据传输率=2Wlog2V=2×4000×log22=8000（b/s），两个上限取其中最小值，故选择B项。
10.C 解析 信噪比S/N常用分贝（dB）表示，在数值上，信噪比=10lg（S/N）dB。依题意有30=10lg(S/N)，可解出S/N=1000，根据香农定理，最大数据传输率=3000log2(1+S/N)≈30（kb/s）。
11.D 解析 每个信号可以有8×2=16种变化，每个码元携带log216=4（bit）的信息，则信息的传输速率为1200×4=4800（b/s）。