微积分典型例题解法：习题收敛性判定

1．判定下列级数是否收敛？如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？

（1） （2）

（3） （4）

（5） （6）

（7） （8）

（9）

解 （1）由于是交错级数，，，所以级数收敛，但级数发散，所以级数条件收敛．

（2）由于，而，故级数收敛，所以原级数绝对收敛．

（3）由于收敛，所以原级数绝对收敛．

（4）由于是交错级数，，，所以级数收敛，发散，所以原级数条件收敛．

（5）由于，级数发散．

（6）由于，，所以级数收敛，所以原级数绝对收敛．

（7）由于，当P＞1，收敛，当0＜P≤1时，级数发散，而当0＜P≤1时，级数是交错级数，，，所以当P＞1，级数绝对收敛，当0＜P≤1时，级数条件收敛．

（8）由于，所以级数发散．

（9）由于，而级数收敛，由比较判别法知收敛，所以原级数绝对收敛．

2．级数是绝对收敛，条件收敛还是发散？

解，又，N→∞，，而级数发散，所以级数也发散，又因为级数是交错级数，，，所以级数收敛，故有原级数条件收敛．

3．证明级数条件收敛．

证 由于，，而，级数发散，由比较判别法知发散．级数是交错级数，，，所以级数收敛，而且是条件收敛．(https://www.daowen.com)

4．讨论级数的敛散性．

解 因为，，而当，即-3＜A＜1时，级数收敛，由比较判别法知收敛，所以原级数绝对收敛．而当

，即A＞1或A＜-3时，发散，所以发散．当A＝1，级数为发散．当A＝-3，级数为条件收敛．

5．判断下列结论是否正确．

（1）若收敛，则条件收敛；

（2）若交错级数收敛，则必为条件收敛；

（3）若级数发散，则也发散；

（4）若，则必然发散；

（5）若收敛，绝对收敛，则绝对收敛．

解 （1）不正确，如收敛，但绝对收敛．

（2）不正确，收敛，且是绝对收敛．

（3）不正确，发散，但是收敛．

（4）正确，，所以，所以级数发散．

（5）正确，收敛，，则｜ｕ_N｜≤m（m＞0），｜ｕ_Nｖ_N｜＜m｜ｖ_N｜，绝对收敛，所以绝对收敛．

6．设f（×）在×＝0的某一邻域是具有二阶连续导数的偶函数，且f（0）＝1，试证明：级数绝对收敛．

证 因为

所以f′（0）＝0．又因为，所以，由比较判别法，知级数收敛，所以原级数绝对收敛．