第二节　复合命题的种类

根据复合命题包含的支命题之间的关系，可以将其分为负命题、联言命题、选言命题和假言命题四种基本类型。

一、负命题

负命题是通过否定一个命题而形成的命题。被否定的那个是负命题的支命题，负命题只有一个支命题，就是被否定的那个命题。例如:

（1）阿慧并不是中共党员。

（2）阿慧并非琴、棋、书、画都擅长。

（3）并不是说阿慧是好人就能胜任这一工作。

（4）“如果一个数能够被2整除它就能够被4整除”这种说法是不能成立的。

这四个命题中只有（1）否定的是简单命题，另外三个负命题否定的都是复合命题。（1）否定的是“阿慧是中共党员”，（2）－（4）否定的分别是:“阿慧琴、棋、书、画都擅长”、“阿慧是好人就能胜任这一工作”、“如果一个数能够被2整除，它就能够被4整除”。

当要否定一个命题的时候，我们可以用联结词“并非”、“并不是”，还可以在被否定的命题后面加上“……是不能成立的”、“……是不符合事实的”、“……是不对的”、“……是假的”等等，这些都属于否定联结词。

逻辑学在研究负命题时，是撇开否定联结词在命题中的具体位置的，如果支命题是简单命题，一律将其逻辑形式表示为“非P”，并将联结词抽象为真值联结词“～”，将其逻辑形式直接写为真值形式“～P”，读作“非P”。

如果支命题是其他几种类型的复合命题，则需要先给出支命题的真值形式，然后在所得到的真值形式的最外层加上一对括号，再在其最左端加上“～”，就能得到负命题的真值形式。

负命题是一种特殊的复合命题，因为它只含一个支命题，而其他的复合命题都至少含有两个支命题，所以，“～”是唯一的一个一元真值联结词，其他的真值联结词都是多元的。

真值表1是对“～”的定义，从真值表1可以看出，负命题的真值和它的支命题的真值是正好相反的，即支命题真时负命题假，支命题假时负命题真。可见，其负命题的真值完全由支命题的真值确定。

一元真值联结词又叫一元算子，如果我们用T、F来表示真假的话，其真值表1还可以用两个等式来表示:

～T＝F

～F＝T

给定支命题的真值后负命题的真值也就是唯一被确定的了，因此，其真值形式又叫真值函数或真值函项。

二、联言命题

联言命题是陈述若干事物情况都成立的复合命题。例如:

（5）君子喻于义，小人喻于利。（孔丘）

（6）业精于勤而荒于嬉，行成于思而毁于随。（韩愈）

（7）人的一生，既不是人们想象的那么好，也不是那么坏。（莫泊桑）

（8）真正的快乐并非来自于财富或荣誉，而是来自于做了一些值得做的事情。

联言命题所陈述的事物情况至少有两种，每一种事物情况就是一个支命题，所以联言命题至少有两个支命题。联言命题的支命题称为联言支。联言支可以是简单命题，如（5）中的“君子喻于义”“小人喻于利”；联言支也可以是复合命题，如（8）中的第一个支命题“真正的快乐并非来自于财富或荣誉”就是一个负命题。

要陈述若干事物情况同时成立的时候，我们可以使用并列关系的复句、转折关系的复句、递进关系的复句等。如果我们能判定一个语句属于这类复句的话，就可以判定它表达的是联言命题。当然，判定一个语句是否表达联言命题的依据还在于它是否陈述若干事物情况同时成立，简单句也可以用来表达联言命题。例如:

（9）阿慧琴、棋、书、画都擅长。

（10）苏东坡是个秉性难改的乐天派、悲天悯人的道德家、黎民百姓的好朋友、散文家、新派的画家、伟大的书法家、酿酒的实验者、工程师、假道学的反对派、瑜伽术的修炼者、佛教徒、士大夫、皇帝的秘书、酒成瘾者、心肠慈悲的法官、政治上的坚持己见者、月下的漫步者、是诗人、生性诙谐爱开玩笑的人。（林语堂《苏东坡传》）

（9）断定了4种情况同时成立，因而含有4个支命题。（10）断定了19种情况同时成立，因而含了19个支命题。在所含命题变项太多的情况下，用p₁、p₂、p₃……来表示命题变项将更为便利。

逻辑学研究联言命题时，把“且”抽象为合取，从而将联言命题的逻辑形式抽象为合取式:p∧q。

真值表2是对“∧”的定义，通过下一节的真值表2可以看出，对于联言命题来说，只有在所有支命题都真的时候，联言命题才是真的；其他情况下，联言命题都是假的。这就是联言命题的逻辑特征。

如同真值表1可以用等式来表示一样，真值表2也可以用等式来表示。“∧”是一个二元真值联结词，所以需要四个等式:

T∧T＝T

T∧F＝F

F∧T＝F

F∧F＝F

由于只保留了联言命题真值方面的意义，舍弃了其他方面的意义，支命题的顺序就变得无关紧要了。从逻辑的角度来看，“p∧q”和“q∧p”的真值意义是完全相同的。在实际使用表达联言命题的语句时，虽然有的时候支命题顺序的变换并不改变真值以外的意义，如“勿以恶小而为之，勿以善小而不为”（刘备）与“勿以善小而不为，勿以恶小而为之”。但在更多情况下，是会影响其他方面的意义的。如:

（11a）阿慧进了屋，并且关上了门。

（11b）阿慧关上了门，并且进了屋。

（12a）虽然阿慧不漂亮，但她很善良。

（12b）虽然阿慧很善良，但她不漂亮。

单从真值意义上看，（11b）等同于（11a），（12b）等同于（12a），但谁都能看出它们之间存在的巨大差异。

此外，在实际使用表达联言命题的语句中，我们也不会将几个虽然真却毫无关联的命题作为支命题，从而得到一个联言命题。如:

（13）李白是诗人。

（14）6是偶数。

（15）北京是中国的首都。

这三个简单命题都是真的，虽然以它们为支命题所得到的合取式为真，但并不会有人以它们为支命题来形成“李白是诗人，且6是偶数，且北京是中国的首都”这样的联言命题。

三、选言命题

选言命题是陈述事物若干可能情况的复合命题。在英文的逻辑学书籍中，通常这样来定义选言命题:用“或者”把两个句子联结起来所形成的复合句就叫做选言命题。在选言命题中，一种情况即为一个支命题，选言命题的支命题叫选言支，一个选言命题至少含有两个选言支。例如:

（16）阿慧或者会说英语，或者会说法语。

（17）这个三角形或者是锐角三角形，或者是直角三角形，或者是钝角三角形。

（18）一个人投票表决要么支持，要么反对，要么弃权。

（16）陈述了“阿慧会说英语”和“阿慧会说法语”这两种情况，有两个支命题；（17）和（18）则分别陈述了“这个三角形是锐角三角形”、“这个三角形是直角三角形”、“这个三角形是钝角三角形”和“一个人投票表决选择支持”、“一个人投票表决选择反对”、“一个人投票表决选择弃权”三种事物情况，有三个支命题。

选言命题的选言支所陈述的事物情况，有的是可以同时成立的，即支命题可以都为真，如（16）中的两种情况。有的是不能同时成立的，如（17）和（18）中的三种情况，其中任意一个为真的时候，另外两个都为假。因此，选言命题通常又分为相容选言命题和不相容选言命题两种。

（一）相容选言命题

相容选言命题是陈述事物若干可能情况中至少有一种成立的选言命题。也可以将其解释为:如果一个选言支为真时，其他的选言支不必然为假，这样的选言命题就是相容选言命题，如（16）。

在汉语里，表达相容选言命题的联结词通常有:“或者……，或者……”、“或许……，或许……”、“也许……，也许……”等等。当我们用这些联结词把几种可能情况联结起来形成一个选言命题的时候，我们就陈述了这些选言支中至少有一个是真的。

逻辑学研究相容选言命题时，把“或者……，或者……”作为其命题联结词的代表，若相容选言命题只含两个支命题的话，就将其逻辑形式写作“p或q”，并在此基础上从真值方面将“或者……，或者……”抽象为析取，从而将“p或q”抽象为析取式:p∨q。

就（16）而言，倘若事实上阿慧只会说英语而不会说法语，或者只会说法语不会说英语，即一个选言支为真而另外一个为假，在这种情况下，（16）所陈述的与实际都是符合的，因而为真；倘若事实上阿慧既会说英语也会说法语，即两个选言支都为真，（16）也是与实际相符的，在这种情况下（16）仍为真；倘若阿慧既不会说英语也不会说法语，即两个选言支都为假，（16）就与事实不符了，因而在这种情况下（16）为假。可见，基本真值表3所揭示的正是相容选言命题的的逻辑特征，“∨”正是对相容选言命题联结词的抽象。

只要有一个选言支为真，整个选言命题变为真；只有在所有选言支都假的时候，整个选言命题才假。这就是相容选言命题的逻辑特征。这种逻辑特征也可以用如下四个等式来表示:

T∨T＝T

T∨F＝T

F∨T＝T

F∨F＝F

（二）不相容选言命题

不相容选言命题是陈述事物若干可能情况中有且仅有一种情况成立的选言命题。也可以将其解释为:如果一个选言支为真时，其他的选言支必定为假，这样的选言命题就是不相容选言命题，如（17）和（18）。

（18）是不相容的选言命题，这是没有争议的，因为当说话人用“要么……，要么……”这样的联结词的时候，很显然，说话人陈述了有一个而且只有一个选言支是真的，倘若事实果真如此，相应的不相容选言命题就为真，否则为假。

（17）所用的联结词是“或者”，与（16）所用的联结词是一样的。那为什么我们把（16）说成是相容的，而把（17）说成是不相容的呢？最合理的解释就是:自然语言中的“或者”是有歧义的。

自然语言中的“或者”有两种不同的用法:一是表示“至少有一个”，再就是表示“至少有一个且至多有一个”。当说话人想要准确地说明自己是哪种意义上使用这一联结词的时候，可以选择在陈述完各种可能情况后加上“或者二者兼而有之”、“但两者不可兼得”这一类的表达式，前者是相容选言命题的标志，后者是不相容选言命题的标志。当缺少这些标志的时候，我们可以依据自己的知识储备来确定选言命题的种类，对（17）的确定就是如此，因此在我们的知识储备中，一个三角形只能是这三种情形中的一种。但有时候，依据我们的知识储备也无法作出判定，所以，这种判定是件比较棘手的事情。只有通过对上下文进行严格考察，或明确追问说话人，才能把握对方采用的是何种用法。好在“或者”这两种含义间的区分并不是一个十分关键的问题，在接下来的一章里我们将看到，“否定肯定式”推理，即由一些选言支是假的可以推出剩下的那个选言支是真的，当前提中的选言命题是相容的选言命题时这样的推理是有效的，当前提中的选言命题是不相容的选言命题时这样的推理也是有效的。因此，“我们可以简单地把词语‘或’翻译为逻辑符号∨，而不管词语‘或’采取何种含义……如果我们约定把词语‘或’的任意一次出现都当做相容的，那么，这个通常难以解决的问题就可以避免”。这不失为一种行之有效的处理办法。

不相容选言命题的真值形式可以用前面已讲到的联结词来表示。以二个支命题的不相容选言命题来说，只有在有一个支命题为真的时候，整个不相容选言命题才是真的，因为只有这种情况下它所陈述的的内容与实际是符合的。当两个支命题都真的时候，说明是不相容的，因而不相容选言命题为假；当两个支命题都假的时候，所陈述的“有一个且仅有一个支命题为真”与实际不符，不相容选言命题也为假。这样一种逻辑特征正是下面这一真值形式的逻辑特征:

（p∨q）∧～（p∨q）

与之对应的真值表如下:

也有一些逻辑学著作引入了专门表达不相容选言命题的真值联结词符号，有的是在析取符号“∨”外面套个圈来表示的，国内逻辑学教材中采用最多的是在析取符号“∨”里加一个圆点的方式，也有采用在“∨”的上方加上一横来表示的，还有在圆圈的中心画一圆点的方式的。无论哪一种都不具有普遍性，这或许是因为它可以有别的真值联结词来定义，而它却难以用来定义别的真值联结词。(www.daowen.com)

无论是相容选言命题还是不相容选言命题，在支命题都为假的的时候，选言命题是假的。所以，对于选言命题来说，有选言支是否穷尽的问题。一个选言命题的选言支穷尽，是指这个选言命题的选言支涉及了所有可能的情况。如果一个选言命题的选言支是穷尽的，这个选言命题一定是真的；选言支不穷尽的选言命题虽然不一定为假，却可能为假。所以，穷尽选言支是为了保证选言命题的真实性。如:

（19）月蚀一旦发生，或是月全蚀，或是月偏蚀。

（20）日蚀一旦发生，或是日全蚀，或是日偏蚀。

（19）穷尽了月蚀的所有可能情况，是个真实的选言命题；而（20）遗漏了“日环蚀”的情况，因而是个假命题。

四、假言命题

假言命题是陈述一事物情况是另一事物情况的条件的复合命题。例如:

（21）如果一个人不知道他要驶向哪个码头，那么任何风都不会是顺风。

（22）只有当你真实地认识到人生的价值时，你才能体会到真正的幸福。（穆尼尔·纳素夫）

（23）当且仅当9能够被2整除时，9才是偶数。

（24）人若是太幸运，则不知天高地厚，也不知自己能力究竟有多少。（富勒）

假言命题又叫条件命题，它有两个支命题，其中表示条件的那个支命题叫前件，如（21）中的“一个人不知道他要驶向哪个码头”、（22）中的“你真实地认识到人生的价值”、（23）中的“9能够被2整除”、（24）中的“人太幸运”。另一个支命题叫后件。前件和后件可以是简单命题，也可以是复合命题，（24）的后件“不知天高地厚，也不知自己能力究竟有多少”就是一个联言命题。

与其他三种复合命题相比，假言命题最具特色的地方是它不对支命题的真假做出任何断定。我们知道，负命题断定其支命题为假，联言命题断定其支命题全部都为真，相容选言命题断定其支命题至少有一个是真的，不相容选言命题断定其支命题有且仅有一个是真的。假言命题则并不断定它的支命题的真假情况，它只断定两个支命题之间有条件关系。

事物情况之间的条件关系可以分为以下三种不同的类型:

充分条件:条件出现时结果必定出现，即有条件必定有结果，该条件就是该结果的充分条件，如“患急性胃肠炎”与“肚子痛”的条件关系。

必要条件:条件不出现时结果必定不出现，即没有条件必定没有结果，该条件就是该结果的必要条件，如“年满18岁”与“有选举权”的条件关系。

充要条件假言命题:条件出现时结果必定出现，且条件不出现时结果必定不出现，即有条件必定有结果，而没有条件必定没有结果，该条件就是该结果的充要条件。如“能被2整除”与“是偶数”的条件关系。

与三种条件关系相对应，假言命题也分为三种类型:充分条件假言命题、必要条件假言命题和充要条件假言命题。

（一）充分条件假言命题

充分条件假言命题是陈述前件反映的事物情况成立时后件反映的事物情况一定成立的假言命题。也就是陈述前件为真后件一定为真的假言命题。如（21）和（24）。

在汉语里，表示充分条件假言命题的联结词有:“如果……那么……”、“倘若……就……”、“只要……就……”、“假如……就……”等。在用日常语言表达充分条件假言命题时，有时可以将联结词省略。如:

（25）树长得越高，倒下来越沉重。

（26）留得青山在，不怕没柴烧。

自然语言中“如果……那么……”等联结词是可以在多种不同意义上使用。比如说，可以用来表示反事实条件，如“如果早来10分钟，病人还有救”；也可以用来表示推想，如“如果a大于b且b大于c，那么a大于c”；可以用来表示因果关系，如“如果患肠胃炎就会腹痛”；还可以用来表示承诺，如“如果你考进前三名，我就送你台笔记本电脑”等。无论是哪一种用法，其共同点都是陈述一事物情况成立时另一事物情况必定成立。

逻辑学研究充分条件假言命题时，以“如果……那么……”作为其命题联结词的代表，并从真值方面将其抽象为“→”，从而将充分条件命题抽象为蕴涵式:p→q。

“→”是一个二元真值联结词。通过真值表4可以看出，p→q只在p真而q假的情况下是假的，其他情况下皆为真。即:

T→T＝T

T→F＝F

F→T＝T

F→F＝T

这样解释的蕴涵称为实质蕴涵。最早对蕴涵进行这样解释的是麦加拉学派的菲罗，所以，实质蕴涵又叫“菲罗蕴涵”。

按照实质蕴涵的解释，只要蕴涵式的前件为假，则无论后件真与假，整个蕴涵式都为真，即假命题蕴涵任何命题；并且，只要蕴涵式的后件为真，无论前件真与假，整个蕴涵式也为真，即真命题被任何命题所蕴涵。这就意味着以“中国位于欧洲”、“7是偶数”这样一些假命题为前件所形成的充分条件假言命题全为真，以“中国位于亚洲”、“7不是偶数”这样一些真命题为后件所形成的充分条件假言命题也全为真。这就是常说的蕴涵怪论，可以用下面的两个真值形式来表示:

～p→（p→q）

q→（p→q）

由于蕴涵怪论的存在，有些逻辑学家便主张重新解释充分条件假言命题的真值联结词，重新解释蕴涵，并将这种想法付诸实践，于是便产生了一些新的逻辑理论，如刘易斯的模态逻辑、贝奈斯和安德森的相干逻辑等，但这些后起的逻辑理论都没有撼动将蕴涵解释为实质蕴涵的经典逻辑的主流地位。

实质蕴涵只是从真值方面对“如果……那么……”的抽象，在实际使用这一联结词的时候，我们固然会考虑前件和后件之间的真假意义，因为我们要陈述的就是在前件为真的情况下后件必须为真。但我们还会考虑前件和后件在内容上是否有关联，所以在实际适用充分条件假言命题的过程中是不会出现这样的怪论的。

（二）必要条件假言命题

必要条件假言命题是陈述前件反映的事物情况不成立时后件反映的事物情况一定不成立的假言命题。也就是断定前件为假时后件一定为假的假言命题。如（22）。

在汉语里，表示必要条件假言命题的联结词有:“只有……才……”、“除非……才……”等，其中以“只有……才……”最常用。如:

（27）一滴水只有放进大海里才永远不会干涸。（雷锋）

（28）只有在集体中，个人才能获得全面发展其才能的手段。（马克思、恩格斯）

逻辑学以“只有……才……”作为必要条件假言命题联结词的代表，并从真值方面将其抽象为“←”，从而将必要条件假言命题抽象为逆蕴涵式:p←q。

对于必要条件假言命题来说，只有在前件假而后件真的情况下为假，因为前件假而后件真说明前件不是后件的必要条件。其他三种情况下必要条件假言命题都是真的。真值表5所揭示的正是必要条件假言命题的逻辑特征:

T←T＝T

T←F＝T

F←T＝F

F←F＝T

对比真值表4和真值表5，可以看出:“p←q”与“q→p”的真假情况是完全相同的。因而，逆蕴涵式可以用蕴涵式来表示。所以，在很多逻辑学著作所提供的基本真值联结词中，我们是找不到“←”的身影的。

如果没有“←”，不用“只有……才……”，我们如何表达必要条件假言命题呢？以（28）来说，（28）可以说成:“如果不在集体中，个人就不能获得全面发展其才能的手段。”也就是说“p←q”可以表示为“q→p”或“～p→～q”。

（三）充要条件假言命题

充要条件假言命题是陈述前件既是后件的充分条件又是后件的必要条件的假言命题，是由充分条件假言命题和必要条件假言命题组合而成的。

在自然语言里，表示充要条件假言命题的联结词主要有:“如果……那么……，并且只有……才……”、“如果……那么……，并且如果没有（不）……那么没有（不）……”、“……当且仅当……”（是对“if and only if”的翻译，在英文中也写做“iff”）、“当且仅当……才……”等。如:

（29）如果9能够被2整除9就是偶数，并且只有当9能够被2整除时9才是偶数。

（30）如果9能够被2整除9就是偶数；如果9不能够被2整除9就不是偶数。

（29）（30）和（23）都断定“9能够被2整除”是“9就是偶数”的充要条件。

充要条件假言命题的联结词有时可能被省略，如“人不犯我，我不犯人；人若犯我，我必犯人”。因此，联结词并不是判定一个命题是否是充要条件假言命题的唯一标志。

逻辑学研究充要条件假言命题时，把其联结词抽象为“→”。于是，充要条件假言命题的真值形式就是:p→q。

对于（29）、（30），我们更多的时候将其真值形式分别写成:

（p→q）∧（p←q）

（p→q）∧（～p←～q）

从真值表6可以看出，当p、q都真的时候，p→q真；当p与q都假的时候，p→q也真。“等值”之名正是因此而来的。当p与q的值不同的时候，p→q假。因为当p真而q假时，说明p不是q的充分条件，当然也就不可能是充分必要条件了；当p假而q真时，说明p不是q的必要条件，自然也就不可能是既充分又必要的。

五、复合命题的真值表

无论一个复合命题多么复杂，总可以在找出其主联结词的基础上，进行层层深入的分析，最后得到的将只是简单命题和不同层次的联结词。所以，我们可以说，任一复合命题都将是由简单命题和联结词生成的。一个复合命题至少含有一个简单命题。

为了得到复合命题的逻辑形式，我们引入命题变项p、q、r、s、t……来表示简单命题，并用符号“～”（读作“并非”）、“∧”（读作“合取”）、“∨”（读作“析取”）、“→”（读作“蕴涵”）、“←”（读作“逆蕴涵”）、“→”（读作“等值”）来分别表示命题联结词“并非……”、“……并且……”、“或者……或者……”、“如果……那么……”、“只有……才……”和“……当且仅当……”。如果只考虑命题是简单命题的情况，并且只考虑“……并且……”、“或者……或者……”联结两个支命题的情形，就得到了如下的形式，这些形式都是真值形式:～p、p∧q、p∨q、p→q、p←q、p→q。

所谓真值形式，是指可以进行真值解释的形式，我们也称真值形式为公式。相应的，称这些公式中的联结词为真值联结词，因为对这些联结词我们只从真值方面来定义。

真值联结词只是对自然语言中的命题联结词的真值方面意义的抽象，自然语言中的命题联结词都是有歧义的，而真值联结词是没有歧义的。每个真值联结词都有一个与之对应的基本真值表，通过这个表来反映基本真值形式的真值是如何由命题变项的真值唯一决定的。这些基本真值表也是对这些真值联结词的定义，下面就是对这六个真值联结词的定义。其中T、F分别表示真和假。

基本真值表1（～的定义）:

基本真值表2（∧的定义）:

基本真值表3（∨的定义）:

基本真值表4（→的定义）:

基本真值表5（←的定义）:

基本真值表6（→的定义）: