第三节　直言命题间的对当关系

一、直言命题之间的真假特征

一个直言命题的真假，由其主项和谓项外延间的关系来确定。如“人”和“热爱自己的祖国”这两个概念之间具有真包含关系，所以，“所有人是热爱自己的祖国的”和“所有人不是热爱自己的祖国的”都是假命题，“有些人是热爱自己祖国的”和“有些人是不热爱自己祖国的”都是真命题。

从外延上看，两个概念之间主要有五种关系:同一关系、真包含关系、真包含于关系、交叉关系和全异关系。直言命题的主项和谓项在外延上存在的关系有且只有这五种情况:

S和P是全同关系；

S和P是真包含于关系（“S”真包含于“P”）；

S和P是真包含关系（“S”真包含“P”）；

S和P是交叉关系；

S和P是全异关系；

在上述五种关系下，直言命题SAP、SEP、SIP、SOP都有确定的真假。

同一素材的直言命题SAP、SEP、SIP、SOP都有确定的真假，如表4.2所示:

表4.2直言命题的真假特征

二、直言命题之间的真假对当关系

如果一直言命题的主项和谓项是相同的，它们就是同一素材的直言命题。如:

（1）所有人是爱国的。

（2）所有人不是爱国的。

（3）有的人是爱国的。

（4）有的人不是爱国的。

这四个命题主项相同（都是人），且谓项相同（爱国的）。因此是同一素材的直言命题。而如:

（1）有些花是红色的。

（2）有些花是紫色的。

这两个命题主项相同，谓项不同，就不属于同一素材的直言命题。

同一素材的直言命题之间在真假值方面存在相互制约关系，这种关系称作直言命题之间的真假对当关系，包括矛盾关系、反对关系、下反对关系和从属关系。

（一）矛盾关系

A命题和O命题、E命题和I命题之间存在的不能同真同假的关系。如“某班所有同学都通过了这次司法考试”和“某班有同学未能通过这次司法考试”之间是矛盾关系，必有一真，必有一假。“某班所有同学都未能通过这次司法考试”与“某班有同学通过了这次司法考试”之间也是矛盾关系，也必有一真，必有一假。

（二）从属关系（又称差等关系）

如果全称命题真，则特称命题真；如果全称命题假，则特称命题真假不定；如果特称命题真，则全称命题真假不定；如果特称命题假，则全称命题假。例如:“某班所有同学都通过了这次司法考试”与“某班有同学通过了这次司法考试”之间就是从属关系，当“某班所有同学都通过了这次司法考试”为真时，“某班有同学通过了这次司法考试”就一定为真。当“某班有同学通过了这次司法考试”为假时，“某班所有同学都通过了这次司法考试”就一定为假。当“某班所有同学都通过了这次司法考试”为假时，“某班有同学通过了这次司法考试”的真假不定。当“某班有同学通过了这次司法考试”为真时，“某班所有同学都通过了这次司法考试”真假不定。

（三）反对关系

A命题和E命题之间不能同真但可以同假的关系。在A命题和E命题中，我们知道其中一个为真，就可推知另一个为假。如果我们知道其中一个为假，另一个则真假不定。例如:“某班所有同学都通过了这次司法考试”与“某班所有同学都未通过这次司法考试”之间就是反对关系，二者不能都为真（必有一假），如果一个命题真，则另一个命题必假；如果一个命题假，另一个命题真假情况不定。

（四）下反对关系

I命题和O命题之间可以同真但不能同假的关系。在I命题和O命题中，如果我们知道其中一个为假，那就可以推知另一个为真；如果我们知道其中一个为真，另一个则真假不定。例如:“某班有同学通过了这次司法考试”与“某班有同学未能通过这次司法考试”之间就是下反对关系，二者不能都为假（必有一真），如果一个命题假，则另一个命题必真；如果一个命题为真，则另一个命题真假情况不定。

为了便于学习记忆，逻辑学中把A、E、I、O四种直言命题之间的真假对当关系用下列正方形图来表示，这个正方图形被称作“逻辑方阵”（表4.3）

表4.3　逻辑方阵图

【例1】已知“所有公民都要守法”为真，求证:同一素材的其他命题的真假。

【分析】由题干已知A命题真。

由矛盾关系，A命题真可得O命题假，即“有些公民不要守法”为假。

由从属关系，A命题真可得I命题真，即“有些公民要守法”为真。

由反对关系，A命题真可得E命题假，即“所有公民不要守法”为假。

需要说明的是，在传统逻辑看来，对当关系的成立，是以直言命题的主项非空（即主项所断定的对象是存在的）为条件的。如果主项断定的对象是不存在的，即主项为空，那么，对当关系就不能普遍成立。例如，“所有独角兽是凶恶的”，是A命题，同一素材的O命题为“有些独角兽是不凶恶的”，根据对当关系必有一真，必有一假，但是由于独角兽不存在，我们难以断定哪个命题为真，哪个命题为假。现代逻辑的形式处理则与此不同，如果直言命题的主项是空概念，那么对当关系中只有矛盾关系成立，其他关系均不成立。

三、对当关系和单称命题

对当关系中，单称命题不能作为全称命题来处理。单称肯定命题与单称否定命题是矛盾关系，而如果将之作为全称命题，那么它们就为反对关系，而非矛盾关系。假设把特称命题作为全称命题处理，“巴金是《家》的作者”和“巴金不是《家》的作者”可以同是为假。显然，这是不可想象的。

如果考虑单称肯定命题和单称否定命题，“逻辑方阵图”可扩充为表4.4“六角阵图”。

表4.4　六角阵图

“六角阵图”在“逻辑阵图”的基础上，进一步说明:(www.daowen.com)

（1）单称肯定命题与单称否定命题之间是矛盾关系。

（2）全称肯定命题与单称肯定命题之间、单称肯定命题与特称肯定命题之间、全称否定命题与单称否定命题之间、单称否定命题与特称否定命题之间存在从属关系。

【例2】设下列三句话中只有一句是假的，请问:甲公司总经理是河北人吗？

（1）甲公司所有人都是河北人。

（2）甲公司员工小张不是河北人。

（3）甲公司所有人都不是河北人。

【分析】（2）与（3）之间为从属关系，假设（2）假，则（3）假，违反题干条件。因此（2）真。（2）真得（1）假。由“只有一句是假的”得（3）真。因此，可知:甲公司总经理不是河北人。

四、对当关系推理

根据同一素材的A、E、I、O四种命题之间的对当关系，这些命题相互之间可以进行推演，称为对当关系推理。

对当关系推理是一种直接推理。根据对当关系，除了真假不定的情况之外，我们可以从一个命题的真或假推出另外三个命题的真或假。

（一）从一个命题真推出另一个命题假

这种推理是根据矛盾关系和反对关系“不能同真”进行推演的。

根据矛盾关系:SAP→～SOP

　　　　　　　SEP→～SIP

　　　　　　　SIP→～SEP

　　　　　　　SOP→～SAP

根据反对关系:SAP→～SEP

　　　　　　　SEP→～SAP

（二）从一个命题假推出另一个命题真

这种推理是根据矛盾关系和反对关系“不能同假”进行推演的。

根据矛盾关系:～SAP→SOP

　　　　　　　～SEP→SIP

　　　　　　　～SIP→SEP

　　　　　　　～SOP→SAP

根据下反对关系:～SIP→SOP

　　　　　　　～SOP→SIP

（三）从一个命题真推出另一个命题真

这种推理是根据从属关系“全称命题真则特称命题真”进行推演的。

根据从属关系:SAP→SIP

　　　　　　　SEP→SOP

（四）从一个命题假推出另一个命题假

这种推理是根据从属关系“特称命题假则全称命题假”进行推演的。

根据从属关系:～SIP→～SAP

　　　　　　　～SOP→～SEP

表4.5对当关系推理图

【例3】开学初，某学院发现有新生未到网络中心办理注册手续。如果上述断定为真，则以下哪项不能确定真假？

Ⅰ.该学院所有新生都未到网络中心办理注册手续。

Ⅱ.该学院所有新生都到网络中心办理了注册手续。

Ⅲ.该学院有的新生到网络中心办理了注册手续。

Ⅳ.该学院的新生王伟到网络中心办理了注册手续。

A.Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ　　　B.仅Ⅰ、Ⅲ和Ⅳ

C.仅Ⅰ和ⅢD.仅Ⅰ和Ⅳ　　　　　E.仅Ⅱ和Ⅲ

【分析】正确选项是B。题干的断定为SOP。选项Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ分别为SEP、SAP、SIP、SaP。当SOP为真时，SAP为假，SEP、SIP和SaP的真假都不能确定。