逻辑学概论：谓词逻辑概述

第一节　谓词逻辑的概述

一、谓词逻辑的意义

在词项逻辑之中，词项是基本的处理单位，直言命题可分解为主词、谓词、联词、量词，而词项逻辑本质上是探讨词项之间的逻辑关系。但是关于句子之间的推理，词项逻辑却无法断定其有效性。例如:

如果张三是作案者，那么他案发时在现场；

张三是作案者；

所以，他案发时在现场。

在词项逻辑中，此推理只能处理为:

如果SA M，那么SAP；

SA M；

所以，SAP。

在词项逻辑中，该推理不是三段论推理，无法判定其是否有效。

命题逻辑也有其局限性，它是以简单命题作为基本处理单位，对于句子内部的结构，无法断定其有效性。例如:

所有金属都导电，所以，有些金属是导电的。

对于命题逻辑只能把它处理为:

p→q

在命题逻辑看来，该推理没有遵守推理规则，所以此推理无效。然而根据词项逻辑的推理知识，可以断定这是一个正确的推理。也许有人会认为，用命题逻辑处理第一个例子，用词项逻辑处理第二个例子，两个推理都可以得到有效的判定。但是对于下面这个例子，这两种逻辑都无能为力。

所有的犯罪或者是故意犯罪，或者是过失犯罪；

有些犯罪不是故意犯罪；

因此，有些犯罪是过失犯罪。

这个直观上正确的推理形式，然而其有效性，命题逻辑无法判定，词项逻辑也无法判定。因此，为了更有效、更不失一般性地处理自然语言所表达的逻辑思维，需要我们进一步分析原子命题的结构，提出新的逻辑工具。这就是谓词逻辑的任务。

在谓词逻辑中，除研究复合命题的命题形式、命题联结词的逻辑性质和规律外，还把命题分析成个体词、谓词和量词等非命题成分，研究由这些非命题成分组成的命题形式的逻辑性质和规律。谓词逻辑把命题逻辑作为子系统，但为了研究方便，同时也由于它具有某些重要的特殊性质，命题逻辑通常又作为一个独立的系统先研究，而在谓词逻辑部分则集中研究由非命题成分组成的命题形式和量词的逻辑性质与规律。只包含个体谓词和个体量词的谓词逻辑称为一阶谓词逻辑，简称一阶逻辑，又称狭义谓词逻辑。此外，还包含高阶量词和高阶谓词的称为高阶逻辑。谓词逻辑也分为经典的谓词逻辑和非经典的谓词逻辑，后者包括作为子系统的非经典的命题逻辑。经典的一阶谓词逻辑是谓词逻辑的基本部分。第一个完整的谓词逻辑系统是G.弗雷格在2025年建立的。K.哥德尔等人系统地研究了谓词逻辑的元逻辑问题，证明了重要的定理。

二、谓词与个体词

在谓词逻辑中，原子命题可以进一步分解为谓词、个体词、量词以及逻辑联结词这样几个基本成分。这里的逻辑联结词的涵义和用法与命题逻辑中的逻辑联接词涵义和用法相同。在谓词逻辑中，原子命题分解成个体词和谓词。例如，在“5是素数”、“7大于3”这两个命题中，5、7和3是个体词，“是素数”、“大于”是谓词。个体词是可以独立存在的客体，它可以是具体事物或抽象的概念。谓词是用来刻画个体词的性质或事物之间关系的词。例如:

（1）宪法是根本大法。

（2）张三和李四是同案犯。

（3）如果朝鲜一意孤行，那么将会受到联合国的制裁。

（4）长江在黄河和珠江之间。

在例（1）中，令Fx表示“x是根本大法”，a表示“宪法”，那么Fa就可以表示“宪法是根本大法。”在例（2）中，令Gxy表示“x与y是同案犯”，a表示“张三”，b表示“李四”，那么Gab就表示“张三和李四是同案犯”。在例（3）中，令Yx表示“x一意孤行”，Zxy表示“x将会受到y的制裁”，a表示“朝鲜”，b表示“联合国”，那么Ya→Zab就表示“如果朝鲜一意孤行，那么将会受到联合国的制裁。”在例（4），令Nxyz表示“x在y和z之间”，a表示“长江”，b表示“黄河”，c表示“珠江”，则Nabc就表示“长江在黄河和珠江之间。”

谓词是表示个体的性质和个体之间关系的符号。个体的性质也称一元关系，表示个体的性质即一元关系的称为一元谓词。两个个体之间的关系称为二元关系，n个个体之间的关系称为n元关系。表示二元关系的为二元谓词，表示n元关系的为n元谓词。一般来说，谓词通常用大写字母F、G、H……来表示。如“是根本大法”就是一元谓词，“同案犯”和“受……制裁”是二元谓词，“在……之间”是三元谓词。一个论域中的元素称为个体，个体词是表示个体的符号；表示某个论域中的一个特定个体的符号称为个体常项或个体常元，个体常项也就是它所表示或指称的那个个体的名字，通常用小写字母a、b、c……来表示；不表示某一确定论域中的特定个体的个体词，称为个体变项或个体变元，通常用小写字母x、y、z……来表示。个体常项表示一个确定的客体。显然，谓词不能脱离个体词而独立存在。

三、全称量词与存在量词

量词包括全称量词和存在量词。全称量词是断定所有的客体都具有相关谓词刻画的性质或关系，通常用符号“A”来表示；存在量词是断定存在客体（至少有一个）具有相关谓词刻画的性质或关系，通常用符号“E”来表示。常用的带有量词的谓词表达式有以下几种:

AxFx表示“任一x都具有性质F”；

ExFx表示“存在x具有性质F”；

A x A y Gxy表示“任一x，对任一y，x与y都有关系G”；

A x E y Gxy表示“任一x，存在y，x与y具有关系G”；

E x A y Gxy表示“存在x，对任一y，x与y具有关系G”；

E x E y Gxy表示“存在x，并且存在y，x与y具有关系G”。

个体变项的取值范围称为论域，亦即个体域。例如，令Fx表示“x是违法行为”，如果x的取值范围是“行为”，A x Fx表示“所有的行为都是违法行为”，这个命题取值为假；如果x的取值范围是“犯罪行为”，A x Fx表示“所有的犯罪行为都是违法行为”，这个命题则取值为真。(https://www.daowen.com)

注意:Fx没有真假，不是命题。要想使之表达命题，具有真假，有两个办法:

①用个体常项取代个体变项。例如，Fx表示“x是律师”，不表达命题，没有真值。用a表示“林肯”，那么代入之后，Fa表示“林肯是律师”，就表达一个命题，具有真假。

②对个体变项用量词进行限制。例如，Fx表示“x是律师”，令x的论域是所有人，则A x Fx表示“所有的人都是律师”，这个命题为假；E x Fx表示“有人是律师”，这个命题为真。

对于没有量词进行限制的个体变项，称为自由变项。有量词进行限制的变项称为约束变项。

例如:

（1）A x Fx∧Hy；

（2）A x Gxy

（3）A x（Fx∨Hx）

（4）E x A y（Fx∨Hy）

例（1）、例（2）、例（3）中的“x”和例（4）中的“x”和“y”，都有量词进行限制，因此都是约束变项。例（1）和例（2）中的“y”，没有量词进行限制，因此都是自由变项。

在谓词逻辑中，使用量词应注意以下几点:

（1）在不同个体域中，命题符号化的形式可能不同，命题的真值也可能会改变。

（2）在考虑命题符号化时，如果对个体域未作说明，一律使用全总个体域。

（3）多个量词出现时，不能随意颠倒它们的顺序，否则可能会改变命题的含义。

四、命题形式及其解释

谓词公式只是一个符号串，没有什么意义，但我们给这个符号串一个解释，使它具有真值，就变成一个命题。所谓解释就是使公式中的每一个变项都有个体域中的元素相对应。

如果一个谓词符号表示的是一个具体的谓词，就称为谓词常项；如果一个谓词符号表示不是一个确定的谓词，则称为谓词变项。谓词变项和自由个体变项都是变项。谓词常项和个体常项是常项。逻辑联接词也是一种特殊的常项，即逻辑常项。约束个体变项不作为常项，也不作为变项。因为它虽然不表示具体的个体，却能用来表示具体的命题。包含变项的符号表达式称为命题形式。

试分析一下表达式，哪些是命题形式，哪些是命题:

（1）Fx；其中Fx表示“x是花朵”。

（2）E x（Fx∧Rx）；其中F的意义同上，Rx表示“x是红的”。

（3）E x Fx∧Rx；其中F、R的意义同上。

上面各式中:公式（1）是命题形式，它含有自由个体变项x。公式（2）是命题，它不包含变项。公式（2）表示:存在客体是花朵并且是红的，也就是有些花是红的。公式（3）是命题形式，它包括自由个体变项x，因为相关存在量词的辖域只包括Fx，不包括Rx。公式（3）表示:存在客体是花朵并且某个客体是红的（这个客体不一定是花朵）。

命题形式不是命题，没有真假。命题形式看来脱离了命题，但实际上有了命题形式的抽象，就可以暂时舍开具体内容，独立地从逻辑结构上对命题及其关系进行更有效的分析。当然，命题形式不能完全脱离命题，对命题形式的分析最终总要落到对具体内容的命题的分析上来。因此，既要有从命题到命题形式的抽象化，又要有从命题形式到命题的具体化。

从命题形式得到命题的一个基本方法，就是解释。命题形式的一个解释，就是用一组常项分别取代谓词变项、自由个体变项。

一个命题形式的解释自然不是唯一的，而是无穷的。在不同的解释下，从命题形式得到的命题可以出现不同的真值情况。

一个命题形式，如果在任一解释下都得到一个真命题，则称为普遍有效式。

一个命题形式，如果在至少一种解释下能得到真命题，称为可满足式。

一个命题形式，如果在任一解释下都不能得到一个真命题，则称为不可满足式。

普遍有效式当然可满足的，但可满足不一定是普遍有效式。

例如:（1）A x Fx→Fx

（2）Fx→E x Fx

（3）Fx∨Fy

（4）A x（Fx∧～Fx）

上例各式中，（1）（2）式是普遍有效式；（3）式是可满足的非普遍有效式；（4）式是不可满足式。

上例各式的逻辑性质是直观的。但对于较复杂的命题形式，难以凭直观作为断定，这就需要新的方法。

有了谓词和量词的抽象后，我们就可以获得了对自然语言及其表达式进行逻辑分析和逻辑刻画的有力的工具。